Тупой вписанный угол. Вписанный угол, теория и задачи
Центральный угол
- это угол, вершина которого находится в центре окружности.
Вписанный угол
- угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.
На рисунке - центральные и вписанные углы, а также их важнейшие свойства.
Итак, величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается . Значит, центральный угол величиной в 90 градусов будет опираться на дугу, равную 90°, то есть круга. Центральный угол, равный 60°, опирается на дугу в 60 градусов, то есть на шестую часть круга.
Величина вписанного угла в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу .
Также для решения задач нам понадобится понятие «хорда».
Равные центральные углы опираются на равные хорды.
1. Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, - прямой.
2. Центральный угол на 36° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
Пусть центральный угол равен х, а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен у.
Мы знаем, что х = 2у.
Отсюда 2у = 36 + у,
у = 36.
3. Радиус окружности равен 1. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах.
Пусть хорда АВ равна . Тупой вписанный угол, опирающийся на эту хорду, обозначим α.
В треугольнике АОВ стороны АО и ОВ равны 1, сторона АВ равна . Нам уже встречались такие треугольники. Очевидно, что треугольник АОВ - прямоугольный и равнобедренный, то есть угол АОВ равен 90°.
Тогда дуга АСВ равна 90°, а дуга АКВ равна 360° - 90° = 270°.
Вписанный угол α опирается на дугу АКВ и равен половине угловой величины этой дуги, то есть 135°.
Ответ: 135.
4. Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 5:7. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.
Главное в этой задаче - правильный чертеж и понимание условия. Как вы понимаете вопрос: «Под каким углом хорда видна из точки С?»
Представьте, что вы сидите в точке С и вам необходимо видеть всё, что происходит на хорде АВ. Так, как будто хорда АВ - это экран в кинотеатре:-)
Очевидно, что найти нужно угол АСВ.
Сумма двух дуг, на которые хорда АВ делит окружность, равна 360°, то есть
5х + 7х = 360°
Отсюда х = 30°, и тогда вписанный угол АСВ опирается на дугу, равную 210°.
Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается, значит, угол АСВ равен 105°.
Инструкция
Если известны радиус (R) круга и длина дуги (L), соответствующая искомому центральному углу (θ), рассчитать его можно как в градусах, так и в радианах. Полная определяется формулой 2*π*R и соответствует центральному углу в 360° или двум числам Пи, если вместо градусов использовать радианы. Поэтому исходите из пропорции 2*π*R/L = 360°/θ = 2*π/θ. Выразите из нее центральный угол в радианах θ = 2*π/(2*π*R/L) = L/R или градусах θ = 360°/(2*π*R/L) = 180*L/(π*R) и рассчитайте по полученной формуле.
По длине хорды (m), соединяющей точки , которые определяет центральный угол (θ), его величину тоже можно рассчитать, если известен радиус (R) круга. Для этого рассмотрите треугольник, образованный двумя радиусами и . Это равнобедренный треугольник, все известны, а найти нужно угол, лежащий напротив основания. Синус его половины равен отношению длины основания - хорды - к удвоенной длине боковой стороны - радиуса. Поэтому используйте для вычислений обратную синусу функцию - арксинус: θ = 2*arcsin(½*m/R).
Центральный угол может быть задан и в долях оборота или от развернутого угла. Например, если нужно найти центральный угол, соответствующей четверти полного оборота, разделите 360° на четверку: θ = 360°/4 = 90°. Эта же величина в радианах должна быть 2*π/4 ≈ 3,14/2 ≈ 1,57. Развернутый угол равен половине полного оборота, поэтому, например, центральный угол, соответствующий четверти от него будет вдвое меньше рассчитанных выше значений как в градусах, так и в радианах.
Обратная синусу тригонометрическая функция называется арксинусом . Она может принимать значения, лежащие в пределах половины числа Пи как в положительную, так и в отрицательную стороны при измерении в радианах. При измерении в градусах эти значения будут находиться, соответственно, в диапазоне от -90° до +90°.
Инструкция
Некоторые «круглые» значения не обязательно вычислять, проще их запомнить. Например:- если аргумент функции равен нулю, то значение арксинуса от него тоже равно нулю;- от 1/2 равен 30° или 1/6 Пи, если измерять ;- арксинус от -1/2 равен -30° или -1/6 от числа Пи в ;- арксинус от 1 равен 90° или 1/2 от числа Пи в радианах;- арксинус от -1 равен -90° или -1/2 от числа Пи в радианах;
Для измерения значений этой функции от других аргументов проще всего воспользоваться стандартным калькулятором Windows, если под рукой есть . Чтобы запустить раскройте главное меню на кнопке «Пуск» ( или нажатием клавиши WIN), перейдите в раздел «Все программы», а затем в подраздел «Стандартные» и щелкните пункт «Калькулятор».
Переключите интерфейс калькулятора в тот режим работы, который позволяет вычислять тригонометрические функции. Для этого откройте в его меню раздел «Вид» и выберите пункт «Инженерный» или «Научный» (в зависимости от используемой операционной системы).
Введите значение аргумента, от которого надо вычислить арктангенс. Это можно делать, щелкая кнопки интерфейса калькулятора мышкой, или нажимая клавиши на , или скопировав значение (CTRL + C) и затем вставив его (CTRL + V) в поле ввода калькулятора.
Выберите единицы измерения, в которых вам нужно получить результат вычисления функции. Ниже поля ввода помещены три варианта, из которых вам нужно выбрать (щелкнув его мышкой) одни - , радианы или рады.
Поставьте отметку в чекбоксе, который инвертирует функции, указанные на кнопках интерфейса калькулятора. Рядом с ним стоит короткая надпись Inv.
Щелкните кнопку sin. Калькулятор инвертирует привязанную к ней функцию, произведет вычисление и представит вам результат в заданных единицах измерения.
Видео по теме
Одной из распространенных геометрических задач является вычисление площади кругового сегмента - части круга, ограниченной хордой и соответствующей хорде дугой окружности.
Площадь кругового сегмента равна разности площади соответствующего кругового сектора и площади треугольника, образованного радиусами соответствующего сегменту сектора и хордой, ограничивающей сегмент.
Пример 1
Длина хорды, стягивающей окружность равна величине а. Градусная мера дуги, соответствующей хорде, равна 60°. Найти площадь кругового сегмента.
Решение
Треугольник, образованный двумя радиусами и хордой, является равнобедренным, поэтому высота, проведенная из вершины центрального угла на сторону треугольника, образованную хордой, будет также являться биссектрисой центрального угла, поделив его пополам и медианой, поделив пополам хорду. Зная, что синус угла в равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, можно вычислить величину радиуса:
Sin 30°= a/2:R = 1/2;
Sc = πR²/360°*60° = πa²/6
S▲=1/2*ah, где h - высота, проведенная из вершины центрального угла к хорде. По теореме Пифагора h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.
Соответственно, S▲=√3/4*a².
Площадь сегмента, вычисляемая как Sсег = Sc - S▲, равна:
Sсег = πa²/6 - √3/4*a²
Подставив числовое значение вместо величины a, можно с легкостью вычислить числовое значение площади сегмента.
Пример 2
Радиус окружности равен величине а. Градусная мера дуги, соответствующей сегменту, равна 60°. Найти площадь кругового сегмента.
Решение:
Площадь сектора, соответствующего заданному углу можно вычислить по следующей формуле:
Sc = πа²/360°*60° = πa²/6,
Площадь соответствующего сектору треугольника вычисляется следующим образом:
S▲=1/2*ah, где h - высота, проведенная из вершины центрального угла к хорде. По теореме Пифагора h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.
Соответственно, S▲=√3/4*a².
И, наконец, площадь сегмента, вычисляемая как Sсег = Sc - S▲, равна:
Sсег = πa²/6 - √3/4*a².
Решения в обоих случаях практически идентичны. Таким образом можно сделать вывод, что для вычисления площади сегмента в простейшем случае достаточно знать величину угла, соответствующего дуге сегмента и один из двух параметров - либо радиус окружности, либо длину хорды, стягивающей дугу окружности, образующую сегмент.
Источники:
- Сегмент - геометрия
Средний уровень
Окружность и вписанный угол. Визуальный гид (2019)
Основные термины.
Хорошо ли ты помнишь все названия, связанные с окружностью? На всякий случай напомним - смотри на картинки - освежай знания.
Ну, во-первых - центр окружности - такая точка, расстояния от которой до всех точек окружности одинаковые.
Во-вторых - радиус - отрезок, соединяющий центр и точку на окружности.
Радиусов очень много (столько же, сколько и точек на окружности), но длина у всех радиусов - одинаковая.
Иногда для краткости радиусом называют именно длину отрезка «центр - точка на окружности», а не сам отрезок.
А вот что получится, если соединить две точки на окружности ? Тоже отрезок?
Так вот, этот отрезок называется «хорда» .
Так же, как и в случае с радиусом, диаметром часто называют длину отрезка, соединяющего две точки на окружности и проходящего через центр. Кстати, а как связаны диаметр и радиус? Посмотри внимательно. Конечно же, радиус равен половине диаметра.
Кроме хорд бывают еще и секущие.
Вспомнили самое простое?
Центральный угол - угол между двумя радиусами.
А теперь - вписанный угол
Вписанный угол - угол между двумя хордами, которые пересекаются в точке на окружности .
При этом говорят, что вписанный угол опирается на дугу (или на хорду) .
Смотри на картинку:
Измерения дуг и углов.
Длина окружности. Дуги и углы измеряются в градусах и радианах. Сперва о градусах. Для углов проблем нет - нужно научиться измерить дугу в градусах.
Градусная мера (величина дуги) - это величина (в градусах) соответствующего центрального угла
Что здесь значит слово «соответствующего»? Смотрим внимательно:
Видишь две дуги и два центральных угла? Ну вот, большей дуге соответствует больший угол (и ничего страшного, что он больше), а меньшей дуге соответствует меньший угол.
Итак, договорились: в дуге содержится столько же градусов, сколько в соответствующем центральном угле.
А теперь о страшном - о радианах!
Что же это за зверь такой «радиан»?
Представь себе: радианы - это способ измерения угла … в радиусах!
Угол величиной радиан - такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.
Тогда возникает вопрос - а сколько же радиан в развёрнутом угле?
Иными словами: сколько радиусов «помещается» в половине окружности? Или ещё по-другому: во сколько раз длина половины окружности больше радиуса?
Этим вопросом задавались учёные ещё в Древней Греции.
И вот, после долгих поисков они обнаружили, что отношение длины окружности к радиусу никак не хочет выражаться «человеческими» числами вроде и т.п.
И даже не получается выразить это отношение через корни. То есть, оказывается, нельзя сказать, что половина окружности в раза или в раз больше радиуса! Представляешь, как удивительно это было обнаружить людям впервые?! Для отношения длины половины окружности к радиусу на хватило «нормальных» чисел. Пришлось вводить букву.
Итак, - это число, выражающее отношение длины полуокружности к радиусу.
Теперь мы можем ответить на вопрос: сколько радиан в развёрнутом угле? В нём радиан. Именно оттого, что половина окружности в раз больше радиуса.
Древние (и не очень) люди на протяжении веков (!) попытались поточнее подсчитать это загадочное число, получше выразить его (хоть приблизительно) через «обыкновенные» числа. А мы сейчас до невозможности ленивы - нам достаточно двух знаков после занятой, мы привыкли, что
Задумайся, это значит, например, что y окружности с радиусом единица длина приблизительно равна, а точно эту длину просто невозможно записать «человеческим» числом - нужна буква. И тогда эта длина окружности окажется равной. И конечно, длина окружности радиуса равна.
Вернёмся к радианам.
Мы выяснили уже, что в развёрнутом угле содержится радиан.
Что имеем:
Значит, рад., то есть рад. Таким же образом получается табличка с наиболее популярными углами.
Соотношение между величинами вписанного и центрального углов.
Имеет место удивительный факт:
Величина вписанного угла вдвое меньше, чем величина соответствующего центрального угла.
Посмотри, как это утверждение выглядит на картинке. «Соответствующий» центральный угол такой, у которого концы совпадают с концами вписанного угла, а вершина в центре. И при этом «соответствующий» центральный угол должен «смотреть» на ту же хорду (), что и вписанный угол.
Почему же так? Давай разберёмся сначала на простом случае. Пусть одна из хорд проходит через центр. Ведь бывает же так иногда, верно?
Что же тут получается? Рассмотрим. Он равнобедренный - ведь и - радиусы. Значит, (обозначили их).
Теперь посмотрим на. Это же внешний угол для! Вспоминаем, что внешний угол равен сумм двух внутренних, не смежных с ним, и записываем:
То есть! Неожиданный эффект. Но и есть центральный угол для вписанного.
Значит, для этого случая доказали, что центральный угол вдвое больше вписанного. Но уж больно частный случай: правда ведь, далеко не всегда хорда проходит прямиком через центр? Но ничего, сейчас этот частный случай нам здорово поможет. Смотри: второй случай: пусть центр лежит внутри.
Давай сделаем вот что: проведём диаметр. И тогда … видим две картинки, которые уже разбирали в первом случае. Поэтому уже имеем, что
Значит, (на чертеже, а)
Ну вот, и остался последний случай: центр вне угла.
Делаем то же самое: проводим диаметр через точку. Все то же самое, но вместо суммы - разность.
Вот и всё!
Давай теперь сформируем два главных и очень важных следствия из утверждения о том, что вписанный угол вдвое меньше центрального.
Следствие 1
Все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой.
Иллюстрируем:
Вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу (у нас эта дуга) - бесчисленное множество, они могут выглядеть совсем по-разному, но у них у всех один и тот же центральный угол (), а значит, все эти вписанные углы равны между собой.
Следствие 2
Угол, опирающийся на диаметр - прямой.
Смотри: какой угол является центральным для?
Конечно, . Но он равен! Ну вот, поэтому (а так же ещё множество вписанных углов, опирающихся на) и равен.
Угол между двумя хордами и секущими
А что, если интересующий нас угол НЕ вписанный и НЕ центральный, а, например, такой:
или такой?
Можно ли его как-то выразить всё-таки через какие-то центральные углы? Оказывается, можно. Смотри: нас интересует.
a) (как внешний угол для). Но - вписанный, опирается на дугу - . - вписанный, опирается на дугу - .
Для красоты говорят:
Угол между хордами равен полусумме угловых величин дуг, заключённых в этот угол.
Так пишут для краткости, но конечно, при использовании этой формулы нужно иметь в виду центральные углы
b) А теперь - «снаружи»! Как же быть? Да почти так же! Только теперь (снова применяем свойство внешнего угла для). То есть теперь.
И значит, . Наведём красоту и краткость в записях и формулировках:
Угол между секущими равен полуразности угловых величин дуг, заключённых в этот угол.
Ну вот, теперь ты вооружён всеми основными знаниями об углах, связанных с окружностью. Вперёд, на штурм задач!
ОКРУЖНОСТЬ И ВПИСАННЫЙ УГОЛ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
Что такое окружность, знает и пятилетний ребёнок, не правда ли? У математиков, как всегда, на этот счёт есть заумное определение, но мы его приводить не будем (смотри ), а лучше вспомним, как называются точки, линии и углы, связанные с окружностью.
Важные термины
Ну, во-первых:
| центр окружности - такая точка, расстояния от которой до всех точек окружности одинаковые. |
Во-вторых:
Тут есть ещё одно принятое выражение: «хорда стягивает дугу». Вот, здесь на рисунке, например, хорда стягивает дугу. А если хорда вдруг проходит через центр, то у неё есть специальное название: «диаметр».
Кстати, а как связаны диаметр и радиус? Посмотри внимательно. Конечно же,
А теперь - названия для углов.
Естественно, не правда ли? Стороны угла выходят из центра - значит, угол - центральный.
Вот здесь иногда возникают сложности. Обрати внимание - НЕ ЛЮБОЙ угол внутри окружности - вписанный, а только такой, у которого вершина «сидит» на самой окружности.
Давай увидим разницу на картинках:
По-другому ещё говорят:
Тут есть один хитрый момент. Что такое «соответствующий» или «свой» центральный угол? Просто угол с вершиной в центре окружности и концами в концах дуги? Не совсем так. Посмотри-ка на рисунок.
Один из них, правда, и на угол-то не похож - он больше. Но это в треугольнике не может быть углов больше, а в окружности - вполне может! Так вот: меньшей дуге AB соответствует меньший угол (оранжевый), а большей - больший. Просто как, не правда ли?
Соотношение между величинами вписанного и центрального угла
Запомни очень важное утверждение:
В учебниках этот же факт любят записывать так:
Правда, с центральным углом формулировка проще?
Но всё же давай найдём соответствие между двумя формулировками, а заодно научимся находить на рисунках «соответствующий» центральный угол и дугу, на которую «опирается» вписанный угол.
Смотри: вот окружность и вписанный угол:
Где же его «соответствующий» центральный угол?
Снова смотрим:
Какое же правило?
Но! При этом важно, чтобы вписанный и центральный угол «смотрели» с одной стороны на дугу. Вот, например:
Как ни странно, голубой! Потому что дуга-то длинная, длиннее половины окружности! Вот и не путай никогда!
Какое же следствие можно вывести из «половинчатости» вписанного угла?
А вот, например:
Угол, опирающийся на диаметр
Ты уже успел заметить, что математики очень любят об одном и том же говорить разными словами? Зачем это им? Понимаешь, язык математики хоть и формальный, но живой, а поэтому, как и в обычном языке, каждый раз хочется сказать так, как удобнее. Ну вот, что такое «угол опирается на дугу» мы уже видели. И представь себе, та же самая картина называется «угол опирается на хорду». На какую? Да конечно на ту, которая стягивает эту дугу!
Когда же опираться на хорду удобнее, чем на дугу?
Ну, в частности, когда эта хорда - диаметр.
Для такой ситуации есть удивительно простое, красивое и полезное утверждение!
Смотри: вот окружность, диаметр и угол, который на него опирается.
ОКРУЖНОСТЬ И ВПИСАННЫЙ УГОЛ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
1. Основные понятия.
3. Измерения дуг и углов.
Угол величиной радиан - такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.
Это число, выражающее отношение длины полуокружности к радиусу.
Длина окружности радиуса равна.
4. Соотношение между величинами вписанного и центрального углов.
Чаще всего процесс подготовки к ЕГЭ по математике начинается с повторения основных определений, формул и теорем, в том числе и по теме «Центральный и вписанный в окружность угол». Как правило, данный раздел планиметрии изучается еще в средней школе. Неудивительно, что многие учащиеся сталкиваются с необходимостью повторения базовых понятий и теорем по теме «Центральный угол окружности». Разобравшись с алгоритмом решения подобных задач, школьники смогут рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи единого госэкзамена.
Как легко и эффективно подготовиться к прохождению аттестационного испытания?
Занимаясь перед сдачей единого государственного экзамена, многие старшеклассники сталкиваются с проблемой поиска нужной информации по теме «Центральный и вписанный углы в окружности». Далеко не всегда школьный учебник имеется под рукой. А поиск формул в Интернете порой отнимает очень много времени.
«Прокачать» навыки и улучшить знания в таком непростом разделе геометрии, как планиметрия, вам поможет наш образовательный портал. «Школково» предлагает старшеклассникам и их преподавателям по-новому выстроить процесс подготовки к сдаче единого госэкзамена. Весь базовый материал представлен нашими специалистами в максимально доступной форме. Ознакомившись с информацией в разделе «Теоретическая справка», учащиеся узнают, какими свойствами обладает центральный угол окружности, как найти его величину и т. д.
Затем для закрепления полученных знаний и отработки навыков мы рекомендуем выполнить соответствующие упражнения. Большая подборка заданий на нахождение величины угла, вписанного в окружность, и других параметров представлена в разделе «Каталог». Для каждого упражнения наши специалисты прописали подробный ход решения и указали правильный ответ. Перечень задач на сайте постоянно дополняется и обновляется.
Готовиться к ЕГЭ, практикуясь в выполнении упражнений, к примеру, на нахождение величины центрального угла и длины дуги окружности, старшеклассники могут в онлайн-режиме, находясь в любом российском регионе.
При необходимости выполненное задание можно сохранить в разделе «Избранное», чтобы в дальнейшем вернуться к нему и еще раз разобрать принцип его решения.
Угол ABC - вписанный угол. Он опирается на дугу АС, заключённую между его сторонами (рис. 330).
Теорема . Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Это надо понимать так: вписанный угол содержит столько угловых градусов, минут и секунд, сколько дуговых градусов, минут и секунд содержится в половине дуги, на которую он опирается.
При доказательстве этой теоремы надо рассмотреть три случая.
Первый случай. Центр круга лежит на стороне вписанного угла (рис. 331).
Пусть ∠ABC - вписанный угол и центр круга О лежит на стороне BC. Требуется доказать, что он измеряется половиной дуги AC.
Соединим точку A с центром круга. Получим равнобедренный \(\Delta\)AOB, в котором АО = OB, как радиусы одного и того же круга. Следовательно, ∠A = ∠B.
∠AOC является внешним по отношению к треугольнику AOB, поэтому ∠AOC = ∠А + ∠В, а так как углы А и В равны, то ∠В составляет 1 / 2 ∠AOC.
Но ∠AOC измеряется дугой АС, следовательно, ∠В измеряется половиной дуги АС.
Например, если \(\breve{AC}\) содержит 60°18’, то ∠В содержит 30°9’.
Второй случай. Центр круга лежит между сторонами вписанного угла (рис. 332).
Пусть ∠ABD - вписанный угол. Центр круга О лежит между его сторонами. Требуется доказать, что ∠ABD измеряется половиной дуги АD.
Для доказательства проведём диаметр BC. Угол ABD разбился на два угла: ∠1 и ∠2.
∠1 измеряется половиной дуги АС, а ∠2 измеряется половиной дуги СD, следовательно, весь ∠АВD измеряется 1 / 2 \(\breve{AC}\) + 1 / 2 \(\breve{CD}\), т. е. половиной дуги АD.
Например, если \(\breve{AD}\) содержит 124°, то ∠В содержит 62°.
Третий случай. Центр круга лежит вне вписанного угла (рис. 333).
Пусть ∠MAD - вписанный угол. Центр круга О находится вне угла. Требуется доказать, что ∠MAD измеряется половиной дуги MD.
Для доказательства проведём диаметр AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Но ∠MAB измеряется 1 / 2 \(\breve{MB}\), а ∠DAB измеряется 1 / 2 \(\breve{DB}\).
Следовательно, ∠MAD измеряется 1 / 2 (\(\breve{MB} - \breve{DB})\), т. е. 1 / 2 \(\breve{MD}\).
Например, если \(\breve{MD}\) содержит 48° 38", то ∠MAD содержит 24° 19’ 8".
Следствия
1.
Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой, так как они измеряются половиной одной и той же дуги
(рис. 334, а).
2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, - прямой, так как он опирается на половину окружности. Половина окружности содержит 180 дуговых градусов, значит, угол, опирающийся на диаметр, содержит 90 угловых градусов (рис. 334, б).
