≡× МЕНЮ

• Радиаторы
• Отопление
• Газоснабжение
• Газопровод
• Водопровод

Примеры сложение неправильных дробей. Сложение дробей с целыми числами и разными знаменателями

И сейчас, как вы можете понять по названию статьи, пойдет речь о сложении.

Без операции сложения сложно представить нашу современную жизнь, потому что сложение практически везде используется. Например, вам нужно посчитать итоговую цену всех продуктов в корзинке или же количество фруктов на столе. Сложение буквально везде, куда ни глянь. Поэтому она является базовой операцией и владеть ей надо в совершенстве. Приступим.

a + b = c

Самые простые примеры это на яблоках. У Васи было 3 яблока, а у Пети 2 яблока. Если Петя отдаст Васе 2 яблока, то сколько у Васи из станет? Ответ очевиден, верно? Их будет 5.

a – яблок у Васи изначально.

b – яблок у Пети изначально.

c – яблок у Васи после передачи.

Подставим в формулу: 2 + 3 = 5 ;

Виды сложений

Выполните сложение онлайн[тут будет тренажер на сложение]

Сложение чисел

Сложение чисел очень просто даже школьникам и некоторым дошкольникам. Сложение – это сумма 2ух или нескольких чисел. Например, 2 + 3 = 5, и графически это можно представить так:

Большие число делиться на части, возьмем число 1234, а в нем: 4-единицы, 3-десятки, 2-сотни, 1-тысячи. Итак, если мы прибавляем 4 к 7, то 4+7=10+1, то есть 1 десяток и 1 единица. Если складывая числа в одном разряде (единицах, например) у вас число больше 10, но меньше 20, то в десяток вы добавляете единицу, а остальное оставляете на месте единиц.

Еще один пример: 8+9, получаем 10+7, значит в десятки мы добавляем 1, а на место единиц записываем 7, получаем 17.

Следующий пример: допустим, 16+5. Здесь в числе 16 имеет 1 десяток и 6 единиц. К ним мы добавляем еще 5 единиц. Помним, что 1 десяток это десять единиц. А значит, до 20 у 16ти не хватает 4 единиц. Получаем 20+1. Итог: 21.

Таким же образом производятся операции с сотнями и тысячами:

Например, 61+47. Одна сотня = десять десятков. Представим слагаемые как 60+1 и 40+7. Получим 60+40 и 1+7, так как 6+4 =10, то 60+40 = 100, так мы получим сотню, а 1+7=8. Итог: 100+8=108.

Ускоряем устный счет

Сложение дробей

Представим круг пиццы. Пицца – это одно целое, а разрезав пополам мы получи что-то меньшее единицы верно? Половинка единицы. Как это записать?

½, так мы обозначаем половину одной целой пиццы, а если поделить пиццу на 4 равные части, то каждая из них будет обозначаться ¼. И так далее…

Сложение дробей, как это?

Все просто. Сложим ¼ c ¼ -ой. При сложении важно, чтобы знаменатель(4) одной дроби совпадал со знаменателем второй. (1) – называется числителем.

Дробь 2/4 можно привести к виду ½.

Почему? Что из себя представляет дробь? ½ = 1:2, а если делить 2 на 4, то это тоже самое, что делить 1 на 2. Поэтому дробь 2/4 = 1/2.

Сложение дробей с разными знаменателями

Если же вам попались такие дроби ½ + ¼, то нужно привести к общему знаменателю. Среди данных знаменателей наибольший – 4. Так как, 2 можно удвоить и получить 4, то получаем из дроби ½ дробь 2/4. При умножении числителя, умножается и знаменатель. Получаем 2/4 +1/4 = 3/4.

Сложение знаменателей

Возможно Вы имели в виду сложение дробей, тогда у них знаменатели приводятся к общему и опять же складываются числители, знаменатели лишь увеличиваются.

Сложение числителей

Сложение смешанных чисел

Что такое смешанной число? Это целое число с дробной частью. То есть если числитель меньше знаменателя – то дробь меньше единицы, а если числитель больше знаменателя, то дробь больше единицы. Смешанное число - это дробь, которая больше единицы и у которой выделена целая часть:

Свойства сложения

Переместительный: a + b = b + a.От перемены мест слагаемых - сумма не меняется.

Сочетательный: a + b + c = a + (b + c).Сумма не меняется, если какую-нибудь группу рядом стоящих слагаемых заменить их суммой.

a + 0 = 0 + a = а.

Прибавление к числу нуля не изменяет этого числа.

Сложение пределов

Сложение пределов – это не сложно. Тут достаточно простой формулы, в которой говорится, что если предел суммы функций стремится к числу а, то это равносильно сумме этих функций, предел каждой из которых стремится к числу а.

Урок сложение

Сложение – это арифметическое действие, в процессе которого складываются два числа, а их результатом будет новое – третье.

Формула сложения выражается так: a + b = c .

Примеры и задачи Вы сможете найти ниже.

При сложении дробей следует помнить, что:

Итак, складываем. Убедились, что знаменатели одинаковые. Тогда складываем числители (1+1)/4, так получаем 2/4. При складывании дробей, складываются только числители!

Попалась сумма дробей, к примеру, 1/3 и 1/2, то домножить придется не одну дробь, а обе, чтобы привести к общему знаменателю. Самый простой способ сделать это: первую дробь умножить на знаменатель второй, а вторую дробь на знаменатель первой, получаем: 2/6 и 3/6. Складываем (2+3)/6 и получаем 5/6.

Дана дробь 7/4, получаем, что 7 больше 4, а значит 7/4 больше 1. Как выделить целую часть? (4+3)/4, далее получаем сумму дробей 4/4 + 3/4, 4:4 + 3/4=1 + 3/4. Итог: одна целая, три четвертых.

Сложение 1 класс

Первый класс – самое начало и дети еще не все умеют считать. Обучение стоит вести в игровой форме. Всегда в первом классе сложение начинают с простых примеров на яблоках, конфетах, грушах. Используется этот метод не просто так, а потому что дети любят, когда с ними играют. И это не единственная причина. Яблоки, конфеты и тому подобное дети видели очень часто в свой жизни и имели дело с передачей и количеством, поэтому научить сложению таких вещей будет не сложно.

Задач на сложение первоклассникам можно придумать огромное множество, например:

Задача 1. Утром, гуляя по лесу ежик нашел 4 грибочка, а вечером еще 2. Сколько к концу дня было у ежика грибочков?

Задача 2. По небу из одного города в другой город летели 2 птички, а спустя час к ним присоединились еще 3. Сколько птичек теперь летит?

Задача 3. Лестница имела длину 2, а хозяину она казалась короткой, поэтому он удлинил ее еще на 1. Сколько в длину лестница теперь?

Задача 4. У Ромы было 3 мяча, а Саши 4. Если Рома отдаст Саше все свои мячи, то сколько их будет у Саши?

Первоклассники в основном решают задачи, в которых ответом будет число от 1 до 10.

Сложение 2 класс

Во втором классе задачи более сложные и потребуют от ребенка больше умственной деятельности.

Числовые задания:

Однозначные числа:

Двузначные числа:

Текстовые задачи

Мише сейчас 18 лет. Сколько лет будет ему через 5 лет? А через 16?

За лето Маша прочитала 3 книги. В первой книге было 23 страницы, во второй 41 страница, в третьей 12 страниц. Сколько всего страниц прочитала Маша?

Портной сшил 3 юбки. На каждую юбку у него ушло по 13 метров ткани. Сколько всего ткани израсходовал портной?

Рабочие ремонтировали дорогу, которая в самом начале была 27 метров длиной. Рабочие с одной стороны удлинили ее на 18 метров, а с другой стороны еще на 16 метров. Какая стала общая длина дороги после ее ремонта?

В первый день туристы прошли 17 км, а во второй день еще 22. Сколько км они прошли за 2 дня?

Паша с бабушкой пошли в магазин, покупать овощи. Обратно Паша нес пакет с картошкой, который весил 5 кг, а бабушка несла капусту и помидоры, которые весили по 12 кг. Сколько всего кг овощей принесли из магазина бабушка и Паша?

Таня на 1 сентября подарила 2 букета своим любимым учителям. В первом букете было 13 гвоздик, а во втором было на 4 больше. Сколько всего гвоздик подарила Таня?

Ваня хочет получить на день рождения тетрадь для прописей и записную книжку. Сколько нужно папе денег на подарок, если тетрадь стоит 18 рублей, а записная книжка 51 рубль?

Сложение 3-4 класс

Суть сложения в 3-4 классе – сложение в столбик больших чисел.

Как складывать в столбик? Рассмотрим на примере:

Первым делом запишем числа друг под другом, а слева между ними поставим знак «+», что означает сложение. Сделаем следующим образом:

Теперь складываем нижнюю цифру с верхней. Первые складываем 1 и 8. 1+8=9.

3+7 и еще десяток с предыдущей колонки +1: 3+7+1. Получается 11, записываем 1, а десяток переносим снова следующую колонку: 6+1 = 7.

Теперь запишем пример в строчку:

Итого: 6748+381=7129

Сложение 5 класс

В пятом классе дети начинают проходить сложение дробей с одинаковыми знаменателями и разными. На помню правила:

1. Складываются числители, а не знаменатели.

Итак, складываем. Убедились, что знаменатели одинаковые. Тогда складываем числители (1+1)/4, так получаем 2/4. При складывании дробей, складываются только числители!

2. Чтобы осуществить сложение, убедитесь, что знаменатели равны.

Попалась сумма дробей, к примеру, 1/3 и 1/2, то домножить придется не одну дробь, а обе, чтобы привести к общему знаменателю. Самый простой способ сделать это: первую дробь умножить на знаменатель второй, а вторую дробь на знаменатель первой, получаем: 2/6 и 3/6. Складываем (2+3)/6 и получаем 5/6.

3. Сокращение дроби производится путем деления числителя и знаменателя на одинаковое число.

Дробь 2/4 можно привести к виду ½. Почему? Что из себя представляет дробь? ½ = 1:2, а если делить 2 на 4, то это тоже самое, что делить 1 на 2. Поэтому дробь 2/4 = 1/2.

4. Если дробь больше единицы, то можно выделить целую часть.

Дана дробь 7/4, получаем, что 7 больше 4, а значит 7/4 больше 1. Как выделить целую часть? (4+3)/4, далее получаем сумму дробей 4/4 + 3/4, 4:4 + 3/4=1 + 3/4. Итог: одна целая, три четвертых.

Сложение 6 класс

Сложение шестого класса – это сложение сложных дробей и сложение чисел с разными знаками, о чем вы узнаете в нашей статье Вычитание .

Сложение презентация

Таблица сложения

Также можете пользоваться таблицей сложения, если пока трудноват считать самим.

Чтобы сложить два однозначных числа, просто найдите одно по вертикали, другое по горизонтали:

Запишитесь на курс "Ускоряем устный счет, НЕ ментальная арифметика", чтобы научиться быстро и правильно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить числа в квадрат и даже извлекать корни. За 30 дней вы научитесь использовать легкие приемы для упрощения арифметических операций. В каждом уроке новые приемы, понятные примеры и полезные задания.

Примеры на сложение

На картинке вы можете увидеть примеры для сложения двузначных чисел, трех двузначных чисел и примеры, в которые нужно вставить число так, чтобы был верный ответ:

Игры на развитие устного счета

Специальные развивающие игры разработанные при участии российских ученых из Сколково помогут улучшить навыки устного счета в интересной игровой форме.

Игра "Быстрое сложение"

Игра «Быстрое сложение» развивает мышление и память. Главная суть игры выбирать цифры, сумма которых равна заданной цифре. В этой игре дана матрица от одного до шестнадцати. Над матрицей написано заданное число, надо выбрать цифры в матрице так, чтобы сумма этих цифр была равна заданной цифре. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра "Быстрое сложение перезагрузка"

Игра «Быстрое сложение перезагрузка» развивает мышление, память и внимание. Главная суть игры выбрать правильные слагаемые, сумма которых будет равна заданному числу. В этой игре на экране дается три цифры и дается задание, сложите цифру, на экране указывается какую цифру надо сложить. Вы выбираете из трех цифр нужные цифры и нажимаете их. Если вы ответили правильно, то вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра "Быстрый счет"

Игра «быстрый счет» поможет вам усовершенствовать свое мышление . Суть игры в том, что на представленной вам картинке, потребуется выбрать ответ «да» или «нет» на вопрос «есть ли 5 одинаковых фруктов?». Идите за своей целью, а поможет вам в этом данная игра.

Игра "Визуальная геометрия"

Игра «Визуальная геометрия» развивает мышление и память. Главная суть игры быстро считать количество закрашенных объектов и выбрать его из списка ответов. В этой игре на экране на несколько секунд показываются синие квадратики, их надо быстро посчитать, потом они закрываются. Снизу под таблицей написаны четыре числа, надо выбрать одно правильное число и нажать на него с помощью мышки. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра "Копилка"

Игра «Копилка» развивает мышление и память. Главная суть игры выбрать, в какой копилке больше денег.В этой игре даны четыре копилки, надо посчитать в какой копилке больше денег и показать с помощью мышки эту копилку. Если вы ответили правильно, то вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра "Математические матрицы"

«Математические матрицы» великолепное упражнение для мозга детей , которое поможет вам развить его мыслительную работу, устный счет, быстрый поиск нужных компонентов, внимательность. Суть игры заключается в том, что игроку предстоит из предложенных 16 чисел найти такую пару, которая в сумме даст данное число, например на картинке ниже данное число «29», а искомая пара «5» и «24».

Игра "Математические сравнения"

Прекрасная игра, с которой вы сможете расслабиться телом, а напрячься мозгом. На скриншоте показан пример данной игры, в которой будет вопрос, связанный с картинкой, а вам надо будет ответить. Время ограниченно. Как много вы успеете ответить?

Развитие феноменального устного счета

В статье мы рассмотрели тему сложение чисел, дробей, смешанных чисел. Были описаны правила сложения и приведены примеры, упражнения и задачи. И это лишь верхушку айсберга. Чтобы понять математику лучше - записывайтесь на наш курс: Ускоряем устный счет - НЕ ментальная арифметика.

Из курса вы не просто узнаете десятки приемов для упрощенного и быстрого умножения, сложения, умножения, деления, высчитывания процентов, но и отработаете их в специальных заданиях и развивающих играх! Устный счет тоже требует много внимания и концентрации, которые активно тренируются при решении интересных задач.

Скорочтение за 30 дней

Увеличьте скорость чтения в 2-3 раза за 30 дней. Со 150-200 до 300-600 слов в минуту или с 400 до 800-1200 слов в минуту. В курсе используются традиционные упражнения для развития скорочтения, техники ускоряющие работу мозга, методика прогрессивного увеличения скорости чтения, разбирается психология скорочтения и вопросы участников курса. Подходит детям и взрослым, читающим до 5000 слов в минуту.

Развитие памяти и внимания у ребенка 5-10 лет

В курс входит 30 уроков с полезными советами и упражнениями для развития детей. В каждом уроке полезный совет, несколько интересных упражнений, задание к уроку и дополнительный бонус в конце: развивающая мини-игра от нашего партнера. Длительность курса: 30 дней. Курс полезно проходить не только детям, но и их родителям.

Супер-память за 30 дней

Запоминайте нужную информацию быстро и надолго. Задумываетесь, как открывать дверь или помыть голову? Уверен, что нет, ведь это часть нашей жизни. Легкие и простые упражнения для тренировки памяти можно сделать частью жизни и выполнять понемногу среди дня. Если съесть суточную норму еды за раз, а можно есть порциями в течение дня.

Секреты фитнеса мозга, тренируем память, внимание, мышление, счет

Мозгу, как и телу нужен фитнес. Физические упражнения укрепляют тело, умственные развивают мозг. 30 дней полезных упражнений и развивающих игр на развитие памяти, концентрации внимания, сообразительности и скорочтения укрепят мозг, превратив его в крепкий орешек.

Деньги и мышление миллионера

Почему бывают проблемы с деньгами? В этом курсе мы подробно ответим на этот вопрос, заглянем вглубь проблемы, рассмотрим наши взаимоотношения с деньгами с психологической, экономической и эмоциональных точек зрения. Из курса Вы узнаете, что нужно делать, чтобы решить все свои финансовые проблемы, начать накапливать деньги и в дальнейшем инвестировать их.

Знание психологии денег и способов работы с ними делает человека миллионером. 80% людей при увеличении доходов берут больше кредитов, становясь еще беднее. С другой стороны миллионеры, которые всего добились сами, снова заработают миллионы через 3-5 лет, если начнут с нуля. Этот курс учит грамотному распределению доходов и уменьшению расходов, мотивирует учиться и добиваться целей, учит вкладывать деньги и распознавать лохотрон.

Разные действия с дробями можно выполнять, например, сложение дробей. Сложение дробей можно разделить на несколько видов. В каждом виде сложения дробей свои правила и алгоритм действий. Рассмотрим подробно каждый вид сложения.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

На примере посмотрим, как складывать дроби с общим знаменателем.

Туристы пошли в поход из точки A в точку E. В первый день они прошли от точки A до B или \(\frac{1}{5}\) от всего пути. Во второй день они прошли от точки B до D или \(\frac{2}{5}\) от всего пути. Какое расстояние они прошли от начала пути до точки D?

Чтобы найти расстояние от точки A до точки D нужно сложить дроби \(\frac{1}{5} + \frac{2}{5}\).

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями заключается в том, что нужно числители этих дробей сложить, а знаменатель останется прежний.

\(\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{1 + 2}{5} = \frac{3}{5}\)

В буквенном виде сумма дробей с одинаковыми знаменателями будет выглядеть так:

\(\bf \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}\)

Ответ: туристы прошли \(\frac{3}{5}\) всего пути.

Сложение дробей с разными знаменателями.

Рассмотрим пример:

Нужно сложить две дроби \(\frac{3}{4}\) и \(\frac{2}{7}\).

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно сначала найти , а потом воспользоваться правилом сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Для знаменателей 4 и 7 общим знаменателем будет число 28. Первую дробь \(\frac{3}{4}\) нужно умножить на 7. Вторую дробь \(\frac{2}{7}\) нужно умножить на 4.

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{7} = \frac{3 \times \color{red} {7} + 2 \times \color{red} {4}}{4 \times \color{red} {7}} = \frac{21 + 8}{28} = \frac{29}{28} = 1\frac{1}{28}\)

В буквенном виде получаем такую формулу:

\(\bf \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d + c \times b}{b \times d}\)

Сложение смешанных чисел или смешанных дробей.

Сложение происходит по закону сложения.

У смешанных дробей складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.

Если дробные части смешанных чисел имеют одинаковые знаменатели, то числители складываем, а знаменатель остается тот же.

Сложим смешанные числа \(3\frac{6}{11}\) и \(1\frac{3}{11}\).

\(3\frac{6}{11} + 1\frac{3}{11} = (\color{red} {3} + \color{blue} {\frac{6}{11}}) + (\color{red} {1} + \color{blue} {\frac{3}{11}}) = (\color{red} {3} + \color{red} {1}) + (\color{blue} {\frac{6}{11}} + \color{blue} {\frac{3}{11}}) = \color{red}{4} + (\color{blue} {\frac{6 + 3}{11}}) = \color{red}{4} + \color{blue} {\frac{9}{11}} = \color{red}{4} \color{blue} {\frac{9}{11}}\)

Если дробные части смешанных чисел имею разные знаменатели, то находим общий знаменатель.

Выполним сложение смешанных чисел \(7\frac{1}{8}\) и \(2\frac{1}{6}\).

Знаменатель разный, поэтому нужно найти общий знаменатель, он равен 24. Умножим первую дробь \(7\frac{1}{8}\) на дополнительный множитель 3, а вторую дробь \(2\frac{1}{6}\) на 4.

\(7\frac{1}{8} + 2\frac{1}{6} = 7\frac{1 \times \color{red} {3}}{8 \times \color{red} {3}} = 2\frac{1 \times \color{red} {4}}{6 \times \color{red} {4}} =7\frac{3}{24} + 2\frac{4}{24} = 9\frac{7}{24}\)

Вопросы по теме:
Как складывать дроби?
Ответ: сначала надо определиться к какому типу относиться выражение: у дробей одинаковые знаменатели, разные знаменатели или смешанные дроби. В зависимости от типа выражения переходим к алгоритму решения.

Как решать дроби с разными знаменателями?
Ответ: необходимо найти общий знаменатель, а дальше по правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Как решать смешанные дроби?
Ответ: складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.

Пример №1:
Может ли сумма двух в результате получить правильную дробь? Неправильную дробь? Приведите примеры.

\(\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2 + 3}{7} = \frac{5}{7}\)

Дробь \(\frac{5}{7}\) это правильная дробь, она является результатом суммы двух правильных дробей \(\frac{2}{7}\) и \(\frac{3}{7}\).

\(\frac{2}{5} + \frac{8}{9} = \frac{2 \times 9 + 8 \times 5}{5 \times 9} =\frac{18 + 40}{45} = \frac{58}{45}\)

Дробь \(\frac{58}{45}\) является неправильной дроби, она получилась в результате суммы правильных дробей \(\frac{2}{5}\) и \(\frac{8}{9}\).

Ответ: на оба вопроса ответ да.

Пример №2:
Сложите дроби: а) \(\frac{3}{11} + \frac{5}{11}\) б) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{9}\).

а) \(\frac{3}{11} + \frac{5}{11} = \frac{3 + 5}{11} = \frac{8}{11}\)

б) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{9} = \frac{1 \times \color{red} {3}}{3 \times \color{red} {3}} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} + \frac{2}{9} = \frac{5}{9}\)

Пример №3:
Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби: а) \(1\frac{9}{47}\) б) \(5\frac{1}{3}\)

а) \(1\frac{9}{47} = 1 + \frac{9}{47}\)

б) \(5\frac{1}{3} = 5 + \frac{1}{3}\)

Пример №4:
Вычислите сумму: а) \(8\frac{5}{7} + 2\frac{1}{7}\) б) \(2\frac{9}{13} + \frac{2}{13}\) в) \(7\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15}\)

а) \(8\frac{5}{7} + 2\frac{1}{7} = (8 + 2) + (\frac{5}{7} + \frac{1}{7}) = 10 + \frac{6}{7} = 10\frac{6}{7}\)

б) \(2\frac{9}{13} + \frac{2}{13} = 2 + (\frac{9}{13} + \frac{2}{13}) = 2\frac{11}{13} \)

в) \(7\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15} = 7\frac{2 \times 3}{5 \times 3} + 3\frac{4}{15} = 7\frac{6}{15} + 3\frac{4}{15} = (7 + 3)+(\frac{6}{15} + \frac{4}{15}) = 10 + \frac{10}{15} = 10\frac{10}{15} = 10\frac{2}{3}\)

Задача №1:
За обедам съели \(\frac{8}{11}\) от торта, а вечером за ужином съели \(\frac{3}{11}\). Как вы думаете торт полностью съели или нет?

Решение:
Знаменатель дроби равен 11, он указывает на сколько частей разделили торт. В обед съели 8 кусочков торта из 11. За ужином съели 3 кусочка торта из 11. Сложим 8 + 3 = 11, съели кусочков торта из 11, то есть весь торт.

\(\frac{8}{11} + \frac{3}{11} = \frac{11}{11} = 1\)

Ответ: весь торт съели.

Дроби — это обычные числа, их тоже можно складывать и вычитать. Но из-за того, что в них присутствует знаменатель, здесь требуются более сложные правила, нежели для целых чисел.

Рассмотрим самый простой случай, когда есть две дроби с одинаковыми знаменателями. Тогда:

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель опять же оставить без изменений.

Внутри каждого выражения знаменатели дробей равны. По определению сложения и вычитания дробей получаем:

Как видите, ничего сложного: просто складываем или вычитаем числители — и все.

Но даже в таких простых действиях люди умудряются допускать ошибки. Чаще всего забывают, что знаменатель не меняется. Например, при сложении их тоже начинают складывать, а это в корне неправильно.

Избавиться от вредной привычки складывать знаменатели достаточно просто. Попробуйте сделать то же самое при вычитании. В результате в знаменателе получится ноль, и дробь (внезапно!) потеряет смысл.

Поэтому запомните раз и навсегда: при сложении и вычитании знаменатель не меняется!

Также многие допускают ошибки при сложении нескольких отрицательных дробей. Возникает путаница со знаками: где ставить минус, а где — плюс.

Эта проблема тоже решается очень просто. Достаточно вспомнить, что минус перед знаком дроби всегда можно перенести в числитель — и наоборот. Ну и конечно, не забывайте два простых правила:

1. Плюс на минус дает минус;
2. Минус на минус дает плюс.

Разберем все это на конкретных примерах:

Задача. Найдите значение выражения:

В первом случае все просто, а во втором внесем минусы в числители дробей:

Что делать, если знаменатели разные

Напрямую складывать дроби с разными знаменателями нельзя. По крайней мере, мне такой способ неизвестен. Однако исходные дроби всегда можно переписать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми.

Существует много способов преобразования дробей. Три из них рассмотрены в уроке «Приведение дробей к общему знаменателю », поэтому здесь мы не будем на них останавливаться. Лучше посмотрим на примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

В первом случае приведем дроби к общему знаменателю методом «крест-накрест». Во втором будем искать НОК. Заметим, что 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Последние множители в этих разложениях равны, а первые взаимно просты. Следовательно, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.

Что делать, если у дроби есть целая часть

Могу вас обрадовать: разные знаменатели у дробей — это еще не самое большое зло. Гораздо больше ошибок возникает тогда, когда в дробях-слагаемых выделена целая часть.

Безусловно, для таких дробей существуют собственные алгоритмы сложения и вычитания, но они довольно сложны и требуют долгого изучения. Лучше используйте простую схему, приведенную ниже:

1. Перевести все дроби, содержащие целую часть, в неправильные. Получим нормальные слагаемые (пусть даже с разными знаменателями), которые считаются по правилам, рассмотренным выше;
2. Собственно, вычислить сумму или разность полученных дробей. В результате мы практически найдем ответ;
3. Если это все, что требовалось в задаче, выполняем обратное преобразование, т.е. избавляемся от неправильной дроби, выделяя в ней целую часть.

Правила перехода к неправильным дробям и выделения целой части подробно описаны в уроке «Что такое числовая дробь ». Если не помните — обязательно повторите. Примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

Здесь все просто. Знаменатели внутри каждого выражения равны, поэтому остается перевести все дроби в неправильные и сосчитать. Имеем:

Чтобы упростить выкладки, я пропустил некоторые очевидные шаги в последних примерах.

Небольшое замечание к двум последним примерам, где вычитаются дроби с выделенной целой частью. Минус перед второй дробью означает, что вычитается именно вся дробь, а не только ее целая часть.

Перечитайте это предложение еще раз, взгляните на примеры — и задумайтесь. Именно здесь начинающие допускают огромное количество ошибок. Такие задачи обожают давать на контрольных работах. Вы также неоднократно встретитесь с ними в тестах к этому уроку, которые будут опубликованы в ближайшее время.

Резюме: общая схема вычислений

В заключение приведу общий алгоритм, который поможет найти сумму или разность двух и более дробей:

1. Если в одной или нескольких дробях выделена целая часть, переведите эти дроби в неправильные;
2. Приведите все дроби к общему знаменателю любым удобным для вас способом (если, конечно, этого не сделали составители задач);
3. Сложите или вычтите полученные числа по правилам сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями;
4. Если возможно, сократите полученный результат. Если дробь оказалась неправильной, выделите целую часть.

Помните, что выделять целую часть лучше в самом конце задачи, непосредственно перед записью ответа.

Действия с дробями.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Итак, что из себя представляют дроби, виды дробей, преобразования - мы вспомнили. Займёмся главным вопросом.

Что можно делать с дробями? Да всё то, что и с обычными числами. Складывать, вычитать, умножать, делить.

Все эти действия с десятичными дробями ничем не отличаются от действий с целыми числами. Собственно, этим они и хороши, десятичные. Единственно, запятую правильно поставить надо.

Смешанные числа , как я уже говорил, малопригодны для большинства действий. Их всё равно надо переводить в обыкновенные дроби.

А вот действия с обыкновенными дробями похитрее будут. И гораздо важнее! Напомню: все действия с дробными выражениями с буковками, синусами, неизвестными и прочая и прочая ничем не отличаются от действий с обыкновенными дробями ! Действия с обыкновенными дробями - это основа для всей алгебры. Именно по этой причине мы очень подробно разберём здесь всю эту арифметику.

Сложение и вычитание дробей.

Сложить (отнять) дроби с одинаковыми знаменателями каждый сможет (очень надеюсь!). Ну уж совсем забывчивым напомню: при сложении (вычитании) знаменатель не меняется. Числители складываются (вычитаются) и дают числитель результата. Типа:

Короче, в общем виде:

А если знаменатели разные? Тогда, используя основное свойство дроби (вот оно и опять пригодилось!), делаем знаменатели одинаковыми! Например:

Здесь нам из дроби 2/5 пришлось сделать дробь 4/10. Исключительно с целью сделать знаменатели одинаковыми. Замечу, на всякий случай, что 2/5 и 4/10 это одна и та же дробь ! Только 2/5 нам неудобно, а 4/10 очень даже ничего.

Кстати, в этом суть решений любых заданий по математике. Когда мы из неудобного выражения делаем то же самое, но уже удобное для решения .

Ещё пример:

Ситуация аналогичная. Здесь мы из 16 делаем 48. Простым умножением на 3. Это всё понятно. Но вот нам попалось что-нибудь типа:

Как быть?! Из семёрки девятку трудно сделать! Но мы умные, мы правила знаем! Преобразуем каждую дробь так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. Это называется «приведём к общему знаменателю»:

Во как! Откуда же я узнал про 63? Очень просто! 63 это число, которое нацело делится на 7 и 9 одновременно. Такое число всегда можно получить перемножением знаменателей. Если мы какое-то число умножили на 7, к примеру, то результат уж точно на 7 делиться будет!

Если надо сложить (вычесть) несколько дробей, нет нужды делать это попарно, по шагам. Просто надо найти знаменатель, общий для всех дробей, и привести каждую дробь к этому самому знаменателю. Например:

И какой же общий знаменатель будет? Можно, конечно, перемножить 2, 4, 8, и 16. Получим 1024. Кошмар. Проще прикинуть, что число 16 отлично делится и на 2, и на 4, и на 8. Следовательно, из этих чисел легко получить 16. Это число и будет общим знаменателем. 1/2 превратим в 8/16, 3/4 в 12/16, ну и так далее.

Кстати, если за общий знаменатель взять 1024, тоже всё получится, в конце всё посокращается. Только до этого конца не все доберутся, из-за вычислений...

Дорешайте уж пример самостоятельно. Не логарифм какой... Должно получиться 29/16.

Итак, со сложением (вычитанием) дробей ясно, надеюсь? Конечно, проще работать в сокращённом варианте, с дополнительными множителями. Но это удовольствие доступно тем, кто честно трудился в младших классах... И ничего не забыл.

А сейчас мы поделаем те же самые действия, но не с дробями, а с дробными выражениями . Здесь обнаружатся новые грабли, да...

Итак, нам надо сложить два дробных выражения:

Надо сделать знаменатели одинаковыми. Причём только с помощью умножения ! Уж так основное свойство дроби велит. Поэтому я не могу в первой дроби в знаменателе к иксу прибавить единицу. (а вот бы хорошо было!). А вот если перемножить знаменатели, глядишь, всё и срастётся! Так и записываем, черту дроби, сверху пустое место оставим, потом допишем, а снизу пишем произведение знаменателей, чтобы не забыть:

И, конечно, ничего в правой части не перемножаем, скобки не открываем! А теперь, глядя на общий знаменатель правой части, соображаем: чтобы в первой дроби получился знаменатель х(х+1), надо числитель и знаменатель этой дроби умножить на (х+1). А во второй дроби - на х. Получится вот что:

Обратите внимание! Здесь появились скобки! Это и есть те грабли, на которые многие наступают. Не скобки, конечно, а их отсутствие. Скобки появляются потому, что мы умножаем весь числитель и весь знаменатель! А не их отдельные кусочки...

В числителе правой части записываем сумму числителей, всё как в числовых дробях, затем раскрываем скобки в числителе правой части, т.е. перемножаем всё и приводим подобные. Раскрывать скобки в знаменателях, перемножать что-то не нужно! Вообще, в знаменателях (любых) всегда приятнее произведение! Получим:

Вот и получили ответ. Процесс кажется долгим и трудным, но это от практики зависит. Порешаете примеры, привыкните, всё станет просто. Те, кто освоил дроби в положенное время, все эти операции одной левой делают, на автомате!

И ещё одно замечание. Многие лихо расправляются с дробями, но зависают на примерах с целыми числами. Типа: 2 + 1/2 + 3/4= ? Куда пристегнуть двойку? Никуда не надо пристёгивать, надо из двойки дробь сделать. Это не просто, а очень просто! 2=2/1. Вот так. Любое целое число можно записать в виде дроби. В числителе - само число, в знаменателе - единица. 7 это 7/1, 3 это 3/1 и так далее. С буквами - то же самое. (а+в) = (а+в)/1, х=х/1 и т.д. А дальше работаем с этим дробями по всем правилам.

Ну, по сложению - вычитанию дробей знания освежили. Преобразования дробей из одного вида в другой - повторили. Можно и провериться. Порешаем немного?)

Вычислить:

Ответы (в беспорядке):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Умножение/деление дробей - в следующем уроке. Там же и задания на все действия с дробями.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Одной из важнейших наук, применение которой можно увидеть в таких дисциплинах, как химия, физика и даже биология, является математика. Изучение этой науки позволяет развить некоторые умственные качества, улучшить и способность концентрироваться. Одна из тем, которые заслуживают отдельного внимания в курсе «Математика» - сложение и вычитание дробей. У многих учеников ее изучение вызывает затруднение. Возможно, наша статья поможет лучше понять эту тему.

Как вычесть дроби, знаменатели которых одинаковые

Дроби - это те же числа, с которыми можно производить различные действия. Их отличие от целых чисел заключается в присутствии знаменателя. Именно поэтому при выполнении действий с дробями нужно изучить некоторые их особенности и правила. Наиболее простым случаем является вычитание обыкновенных дробей, знаменатели которых представлены в виде одинакового числа. Выполнить это действие не составит особого труда, если знать простое правило:

• Для того чтобы из одной дроби вычесть вторую, необходимо из числителя уменьшаемой дроби вычесть числитель вычитаемой дроби. Это число записываем в числитель разницы, а знаменатель оставляем тот же: k/m - b/m = (k-b)/m.

Примеры вычитания дробей, знаменатели которых одинаковы

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

От числителя уменьшаемой дроби «7» отнимаем числитель вычитаемой дроби «3», получаем «4». Это число мы записываем в числитель ответа, а в знаменатель ставим то же число, что было в знаменателях первой и второй дроби - «19».

На картинке ниже приведено еще несколько подобных примеров.

Рассмотрим более сложный пример, где произведено вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

От числителя уменьшаемой дроби «29» отниманием по очереди числители всех последующих дробей - «3», «8», «2», «7». В итоге получаем результат «9», который записываем в числитель ответа, а в знаменатель записываем то число, которое находится в знаменателях всех этих дробей, - «47».

Сложение дробей, имеющих одинаковый знаменатель

Сложение и вычитание обыкновенных дробей осуществляется по одному и тому же принципу.

• Для того чтобы сложить дроби, знаменатели которых одинаковы, необходимо числители сложить. Полученное число - числитель суммы, а знаменатель останется тот же: k/m + b/m = (k + b)/m.

Рассмотрим, как это выглядит на примере:

1/4 + 2/4 = 3/4.

К числителю первой слагаемой дроби - «1» - добавляем числитель второй слагаемой дроби - «2». Результат - «3» - записываем в числитель суммы, а знаменатель оставляем тот же, что присутствовал в дробях, - «4».

Дроби с различными знаменателями и их вычитание

Действие с дробями, которые имеют одинаковый знаменатель, мы уже рассмотрели. Как видим, зная простые правила, решить подобные примеры достаточно легко. Но что делать, если необходимо произвести действие с дробями, которые имеют различные знаменатели? Многие учащиеся средних школ приходят в затруднение перед такими примерами. Но и здесь, если знать принцип решения, примеры уже не будут представлять для вас сложности. Здесь также существует правило, без которого решение подобных дробей просто невозможно.

Чтобы произвести вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо их привести к одинаковому наименьшему знаменателю.



О том, как это сделать, мы поговорим подробнее.

Свойство дроби

Для того чтобы несколько дробей привести к одинаковому знаменателю, нужно использовать в решении главное свойство дроби: после деления или умножения числителя и знаменателя на одинаковое число получится дробь, равная данной.

Так, например, дробь 2/3 может иметь такие знаменатели, как «6», «9», «12» и т. д., то есть она может иметь вид любого числа, которое кратно «3». После того как числитель и знаменатель мы умножим на «2», получится дробь 4/6. После того как числитель и знаменатель исходной дроби мы умножим на «3», получим 6/9, а если аналогичное действие произвести с цифрой «4», получим 8/12. Одним равенством это можно записать так:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю

Рассмотрим, как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю. Для примера возьмем дроби, приведенные на картинке ниже. Для начала необходимо определить, какое число может стать знаменателем для их всех. Для облегчения разложим имеющиеся знаменатели на множители.

Знаменатель дроби 1/2 и дроби 2/3 на множители разложить нельзя. Знаменатель 7/9 имеет два множителя 7/9 = 7/(3 х 3), знаменатель дроби 5/6 = 5/(2 х 3). Теперь необходимо определить, какие же множители будут наименьшими для всех этих четырех дробей. Так как в первой дроби в знаменателе имеется число «2», значит, оно должно присутствовать во всех знаменателях, в дроби 7/9 присутствуют две тройки, значит, они также обе должны присутствовать в знаменателе. Учитывая вышесказанное, определяем, что знаменатель состоит из трех множителей: 3, 2, 3 и равен 3 х 2 х 3 = 18.



Рассмотрим первую дробь - 1/2. В ее знаменателе имеется «2», но нет ни одной цифры «3», а должно быть две. Для этого мы знаменатель умножаем на две тройки, но, согласно свойству дроби, мы и числитель должны умножить на две тройки:
1/2 = (1 х 3 х 3)/(2 х 3 х 3) = 9/18.

Аналогично производим действия с оставшимися дробями.

• 2/3 - в знаменателе не хватает одной тройки и одной двойки:
  2/3 = (2 х 3 х 2)/(3 х 3 х 2) = 12/18.
• 7/9 или 7/(3 х 3) - в знаменателе не хватает двойки:
  7/9 = (7 х 2)/(9 х 2) = 14/18.
• 5/6 или 5/(2 х 3) - в знаменателе не хватает тройки:
  5/6 = (5 х 3)/(6 х 3) = 15/18.

Все вместе это выглядит так:



Как вычесть и сложить дроби, имеющие различные знаменатели

Как уже говорилось выше, для того чтобы произвести сложение или вычитание дробей, имеющих различные знаменатели, их необходимо привести к одному знаменателю, а дальше воспользоваться правилами вычитания дробей, имеющих одинаковый знаменатель, о котором уже рассказывалось.

Рассмотрим это на примере: 4/18 - 3/15.

Находим кратное чисел 18 и 15:

• Число 18 состоит из 3 х 2 х 3.
• Число 15 состоит из 5 х 3.
• Общее кратное будет состоять из следующих множителей 5 х 3 х 3 х 2 = 90.

После того как знаменатель будет найден, необходимо вычислить множитель, который будет отличным для каждой дроби, то есть то число, на которое необходимо будет умножить не только знаменатель, но и числитель. Для этого число, которое мы нашли (общее кратное), делим на знаменатель той дроби, у которой нужно определить дополнительные множители.

• 90 поделить на 15. Полученное число «6» будет множителем для 3/15.
• 90 поделить на 18. Полученное число «5» будет множителем для 4/18.

Следующий этап нашего решения - приведение каждой дроби к знаменателю «90».

Как это делается, мы уже говорили. Рассмотрим, как это записывается в примере:

(4 х 5)/(18 х 5) - (3 х 6)/(15 х 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Если дроби с маленькими числами, то можно общий знаменатель определить, как в примере, приведенном на картинке ниже.



Аналогично производится и имеющих различные знаменатели.

Вычитание и имеющих целые части

Вычитание дробей и их сложение мы уже детально разобрали. Но как произвести вычитание, если у дроби есть целая часть? Опять же, воспользуемся несколькими правилами:

• Все дроби, имеющие целую часть, перевести в неправильные. Говоря простыми словами, убрать целую часть. Для этого число целой части умножаем на знаменатель дроби, полученное произведение добавляем к числителю. То число, которое получится после этих действий, - числитель неправильной дроби. Знаменатель же остается неизменным.
• Если дроби имеют различные знаменатели, следует привести их к одинаковому.
• Произвести сложение или вычитание с одинаковыми знаменателями.
• При получении неправильной дроби выделить целую часть.



Есть и иной способ, при помощи которого можно осуществить сложение и вычитание дробей с целыми частями. Для этого производятся отдельно действия с целыми частями, и отдельно действия с дробями, а результаты записываются вместе.



Приведенный пример состоит из дробей, которые имеют одинаковый знаменатель. В том случае, когда знаменатели различны, их необходимо привести к одинаковому, а далее выполнить действия, как показано на примере.

Вычитание дробей из целого числа

Еще одной из разновидностей действий с дробями является тот случай, когда дробь необходимо отнять от На первый взгляд подобный пример кажется трудно решаемым. Однако здесь все довольно просто. Для его решения необходимо перевести целое число в дробь, причем с таким знаменателем, который имеется в вычитаемой дроби. Далее производим вычитание, аналогичное вычитанию с одинаковыми знаменателями. На примере это выглядит так:

7 - 4/9 = (7 х 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Приведенное в этой статье вычитание дробей (6 класс) является основой для решения более сложных примеров, которые рассматриваются в последующих классах. Знания этой темы используются впоследствии для решения функций, производных и так далее. Поэтому очень важно разобраться и понять действия с дробями, рассматриваемые выше.