Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Задачи на тему сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Исследование, проведенное Алышевой Т.В. 1 , свидетельствует о целесообразности при изучении действий сложения и вычитания обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями использовать аналогию со сложением и вычитанием уже известных учащимся
Алышева Т. В. Изучение арифметических действий с обыкновенными дробями учащимися вспомогательной школы //Дефектология. -1992.- № 4.- С. 25-27.
исел, полученных в результате измерения величин, и проводить ручение действий дедуктивным методом, т. е. «от общего к частому».
Сначала повторяется сложение и вычитание чисел с наимено-»аниями мер стоимости, длины. Например, 8 р. 20 к. ± 4 р. 15 к.
Лри выполнении устного сложения и вычитания нужно склады-
3 м 45 см ± 2 м 24 см - сначала складываются (вычитаются) метры, а потом сантиметры.
; При сложении и вычитании дробей рассматривается общий случай: выполнение этих действий со смешанными дробями (знаменатели одинаковые): 3-?- ± 1-г. В этом случае надо: «Сложить (вычесть) целые числа, затем числители, а знаменатель остается тем же». Это общее правило распространяется на все случаи сложения и вычитания дробей. Постепенно вводятся частные случаи: сложение смешанного числа с дробью 1у + -= = \-= \, потом
(1 1\ ^ "
смешанного числа с целым \-= + 4 = 5у. После этого рассматриваются более трудные случаи вычитания: 1) из смешанного числа дроби: 4д~п=4д-; 2) из смешанного числа целого: 4д-2=2-д-.
После усвоения этих достаточно простых случаев вычитания учащиеся знакомятся с более трудными случаями, когда требуется преобразование уменьшаемого: вычитание из одной целой единицы или из нескольких единиц, например:
\ О О О 2, л О <-)Э О п~
1 ~Ь-~Ь~Ь-~5" 6 ~~5~ 2 Ь~"5- 2 "5-
В первом случае единицу нужно представить в виде дроби со знаменателем, равным знаменателю вычитаемого. Во втором случае из целого числа берем единицу и также ее записываем в виде неправильной дроби со знаменателем вычитаемого, получаем в уменьшаемом смешанное число. Вычитание выполняется по общему правилу.
Наконец рассматривается наиболее трудный случай вычитания: из смешанного числа, причем числитель дробной части меньше
числителя в вычитаемом: 5^-^. В этом случае надо уменьшаемое изменить так, чтобы можно было применить общее правило, т. е. в уменьшаемом занять из целого одну единицу и раздробить
в пятые доли, получим 1=-г, да еще -г, получится -г, прим<-|>
примет такой вид: 4^~^, к его решению уже можно применим
общее правило.
Использование дедуктивного метода обучения сложению и вычп танию дробей будет способствовать развитию у учащихся умении обобщать, сравнивать, дифференцировать, включать отдельные случаи вычислений в общую систему знаний о действиях с дробями.
2. Сложение и вычитание дробей и смешанных чисел с разными знаменателями*.
а) больший знаменатель является НОЗ:
о?+|, Н; 2) 1|+", 4-ш" 3 > 4+4 4-4
б) больший знаменатель не является НОЗ:
п 3 4 7 2. 9 г.3 , 7 ,3 2. 04^2.. 1 гЗ 9 2 1} Б-+7" 8-9" 2) %+8" 1 5-5" 3) %+%" 5 Т- 2 3"
Выполнение сложения и вычитания дробей, имеющих разные з менатели, представляет значительные трудности для умственно -сталых школьников, так как, прежде чем выполнять действия, требуется привести дроби к наименьшему знаменателю, в связи с чем внимание учащихся переключается на дополнительную операцию (удлиняется запись выражения - требуется несколько раз переписывать выражение, ставя знак равенства). Это требует от учащихся сосредоточенности внимания. А внимание учащихся с нарушением интеллекта характеризуется, как известно, отвлекаемостью, рассеянностью. Это нередко приводит к потере целых, знака равенства, а то и компонента. Чтобы избежать подобных ошибок, можно на первых порах предложить учащимся запись выражения проговорить устно, а именно сказать, какие операции надо выполнить и в какой последовательности: 1) привести дроби к наименьшему знаменателю; 2) выполнить действие; 3) произвести, если нужно, преобразование в ответе.
При выполнении сложения дроби со смешанным числом надо обратить внимание учащихся на значение суммы и каждого слагаемого, сравнив со свойством суммы целых чисел.
То же самое необходимо сделать и при знакомстве с вычитанием дробей, подчеркнув общность свойств разности целых и дробных чисел.
Для этого целесообразно решить и сравнить пары примеров на нахождение суммы и разности целых и дробных чисел: 310
4,3 . 3 , -1 5 + 5" 1 ТО +5 ТО
Вывод: сумма больше каждого из слагаемых, разность меньше или равна уменьшаемому.
Сложение и вычитание дробей необходимо связать с жизненно-практическими заданиями и упражнениями, которые могут быть мыполнены и устно. Например:
«На отделку блузки отрезали -^ м белой и -^ м синей тесьмы.
Сколько тесьмы пошло на отделку блузки?»
ъ - - о -3
«От рейки длиной 2 м отпилили один кусок длиной -% м и
второй - длиной 4" м. Какова длина оставшейся рейки?»
Отметим, что в этих задачах даны числа, полученные от измерения величин. Это позволяет закрепить в памяти учащихся наиболее употребительные в повседневной жизни соотношения: к- м - это 50 см, -^ м - это 25 см, -? м - это 20 см, -^ ч - это 15 мин и т. д.
В этот период следует решать с учащимися примеры на нахождение неизвестных компонентов сложения и вычитания, сопоставляя нахождение неизвестных компонентов сложения и вычитания дробных и целых чисел.
Учащиеся должны убедиться, что переместительный и сочетательный закон арифметических действий над целыми числами распространяются и на действия над дробными числами. Так же как и при изучении действий с целыми числами, учащиеся получают
лишь практическое знакомство с законами - их использование
3 для рационализации вычислений. Например, решить пример -^+2
удобнее, переставив местами слагаемые, т. е. использовав переместительный закон сложения.
Решение примеров с предварительным обдумыванием порядка выполнения действий развивает сообразительность, смекалку, предупреждает шаблонность и имеет большое корригирующее значение.
УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ*
В школе VIII вида рассматривается только умножение и деление дробей и смешанных чисел на целое число. Изучение этих
действий, так же как и изучение сложения и вычитания, дает параллельно.
Для удобства изложения мы сначала рассмотрим методику зь комства с умножением дроби на целое число, а затем с деление дроби на целое число.
Прежде чем знакомить учащихся с умножением дроби на цел^ число, необходимо повторить умножение целых чисел.
При рассмотрении умножения дроби на целое число необхоД| мо соблюдать определенную последовательность разных случае] которая определяется степенью их трудности.
Умножение дроби на целое число.
Умножение смешанного числа на целое. Подготовительными заданиями к объяснению умножения дрой
на целое число являются задания на умножение целых чисел | последующей заменой действия умножения действием сложений например: заменить умножение 7-3=21 сложением 7+7+7=21| заменить действие умножения (первый множитель - дробь второй множитель - целое число) действием сложен» д-хЗ=д-+д-4-д-=-д. При этом обращается внимание на числитель знаменатель произведения и первого множителя. С помощью во просов: «Изменился ли знаменатель дроби при умножении? Чт| произошло с числителем дроби?» - учащиеся приходят к выводу^ что числитель увеличился в 3 раза, а знаменатель не изменился.. Для вывода правила умножения дроби на целое число недостаточно ограничиться рассмотрением только одного примера, нужно, рассмотреть еще несколько примеров:
2
2,2,2 2+2+2 =++
7
=
~7~
- ~- 7 ;
3 2 6 3~
Правильность ответов в этих примерах необходимо подтвердить демонстрацией рисунков.
В рассмотренных примерах внимание учащихся надо обратить на то, что в числителе сумму одинаковых слагаемых (трех двоек) можно заменить произведением (2 3). Это позволит подвести их
л » 2 о 2 3 6
к более сокращенной записи: у 3= - ^ - =у, а следовательно, и к
выводу правила. Кроме того, при умножении дроби на целое число получается произведение, большее первого множителя. После усвоения правила умножения дроби на целое число необходимо показать учащимся, что до умножения числителя на целое 312
Исло надо сопоставить эти числа со знаменателем и, если у них Ьть общий делитель, разделить на него и только потом произвес-умножение. Такой прием предварительного сокращения чисел,
писанных в числителе и знаменателе, облегчает вычисления, пример: -г-10=-?-=-г-=8. Это же действие выполним с пред-рительным сокращением числителя и знаменателя на общий |делитель:
I Дети с интеллектуальным недоразвитием редко прибегают к | рациональным приемам вычисления, используя, как правило, только те приемы, которые стали стереотипными. Поэтому учителю надо иногда просто требовать, чтобы учащиеся использовали рациональные способы действий.
Перед объяснением умножения смешанного числа на целое необходимо повторить умножение чисел, полученных при измерении величин, вида 15 р. 32 к.-3. Сначала следует дать подробную запись при решении этого примера: 1 р. = 100 к.
15 р. = 100 к.-15=1500 к. 1500 к.+32 к. = 1532 к.
Однако тут же надо показать, что некоторые примеры легче решать в уме, умножая отдельно число рублей и копеек.
При умножении смешанного числа на целое обращается внимание на то, что смешанное число надо выразить (записать) в виде неправильной дроби, а затем выполнять умножение по правилу умножения дроби на целое число, например:
-
(Сопоставить с умножением 15 р. 32 к. на целое число 3.)
Недостатком этого способа вычислений является его громоздкость: большие числа, которые получаются в числителе, затрудняют вычисления. Однако у этого способа есть и преимущество: в дальнейшем, когда учащиеся будут знакомиться с делением смешанного числа на целое, перед выполнением действия им потребуется выразить смешанное число неправильной дробью.
Наиболее сильным учащимся можно показать и второй сп| умножения смешанного числа на целое (без записи смешан| числа неправильной дробью), например:
(
В этом случае умножается целое число на целое, получен», произведение записывается целым числом, затем умножаете!, дробная часть числа по правилу умножения дроби на целое число,.
При изучении темы «Умножение дроби на целое число» следу*! ет решать примеры и задачи на увеличение дроби в несколько!
2 раз. Необходимо показать учащимся, что пример у 3 можно про*
произведение у и 3; множители у и 3, найти произведение. После!
решения примера уЗ=у следует сравнить произведение и пер-
выи множитель: у больше у в 3 раза, = меньше у в 3 раза.
Надо решать примеры и с неизвестным числителем или знаменателем в первом множителе вида: -~--2=-г, т=г-2=-я-.
Можно предложить и более трудные примеры вида:
А, 4 1 ,-, 3 П г-, 2
1 -а- 4 =Ъи" а =Г> П" П =5
2. Дробь тг увеличить в 3 раза.
Деление дроби на целое число дается в следующей последовательности:
Деление дроби на целое число без предварительного сокра щения.
Деление смешанного числа на целое число без предваритель ного сокращения.
Деление с предварительным сокращением.
Учащимся необходимо показать и такие случаи деления дроби или смешанного числа на целое, когда предварительное сокращение облегчает процесс выполнения действия. Например:
5- 2= 7^- = 5" 3 4- 9 = Т" :9 = 4^ = Т2-
На основе наблюдений и конкретной деятельности учащиеся
н"мнодятся к выводу: при делении дроби на целое число доли
1.ПЮВЯТСЯ мельче, число же долей не изменяется. Например,
| гни взять половину яблока и разделить эту половину на 2 рав-
ц.к" части (-я- : 2 ] , то получится по -т яблока. Записываем: -к\2=-^.
Каждый ученик должен самостоятельно половину круга (полоски, Отрезки) разделить на 2 равные части и записать результат деле-
Части:
-^:3=к- Учащиеся видят, что получились при
делении девятые
доли, а число их не изменилось. Сравниваются
числитель и знаменатель
частного и делимого: знаменатель
увеличился в 3 раза,
а числитель не изменился. Отсюда можно
сделать вывод: чтобы
разделить дробь на целое число, нужно
знаменатель умножить
на это число, а числитель оставить тот
же. На основе правила
решается пример:
Затем
на предметах уча-
щиеся должны еще раз показать процесс деления и убедиться, что пример решен верно.
Деление дроби на целое число необходимо сопоставить с умножением дроби на целое число, решая взаимно обратные примеры видаПри этом следует сравнить
произведение и частное соответственно с первым множителем и делимым. Это надо для того, чтобы учащихся подвести к обобщению: при умножении дроби на целое число произведение во столько раз больше первого множителя, сколько единиц содержится во втором множителе. Аналогичный вывод нужно сделать и для частного.
Деление
смешанного числа на целое дается по
аналогии со вторым
способом умножения смешанного числа
на целое, например:
Смешанное
число обращается в непра-
вильную дробь и деление производится по правилу деления дроби на целое число.
Наиболее сильных учащихся нужно познакомить и с особыми случаями деления. Если целая часть смешанного числа нацело делится на делитель, то смешанное число не обращается в непра-
вильную дробь, например: 2-^".2=\-^. Нужно делить сначала
часть, результат записать в частное, затем делить дробную част
правилу деления дроби на целое число: 12^:3=47^=4-^. В
случае деление смешанного числа нужно показать на предметиц пособиях. После изучения всех четырех действий с обыкновений ми дробями предлагаются сложные примеры со скобками и порядок действий.
НАХОЖДЕНИЕ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ЧАСТЕЙ ОТ ЧИСЛА
Данная тема изучается сразу же после изучения темы чение дроби».
Объяснение нового понятия следует начать с решения практ! ческой задачи, например: «От доски длиной 80 см отпилили -^ част Какой длины доску отпилили?» Эту задачу нужно показать,-, щимся на предметных пособиях. Взять планку длиной 80 ск
проверить ее длину с помощью метровой линейки, а затем спре
I сить, как найти -т часть этой планки. Учащиеся знают, что план
нужно разделить на 4 равные части и отпилить одну четверту! часть. Отпиленный кусок планки измеряется. Его длина оказыв* ется равной 20 см. «Как получили число 20 см?» - спрашивав учитель. Ответ на этот вопрос вызывает у некоторых учащихс затруднение, поэтому надо показать, что раз планку делили на равные части, то, следовательно, делили 80 см на 4 равные часп Запишем решение этой задачи: -% от 80 см составляет 80 см:4- =20 см.
Нахождение нескольких частей от числа в школе VIII шадв производится с помощью двух арифметических действий. В первом действии определяется одна часть от числа, а во вто-
ром - несколько частей. Например, надо найти -5- от 15. Находим 1 21
Д- от 15, 15:3=5; -? больше -о- в 2 раза, поэтому 5 нужно умножить на 2. Находим * от 15, 5-2 = 10.
3 от 15 15:3=5; | от 15 5-2=10.
НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛА ПО ОДНОЙ ЕГО ЧАСТИ*
|Работу над данной темой следует связать с задачами чисто ] I
|ктического содержания, например: «Известно, что ^ р. со-
|вляет 50 к. Чему равно все число? (Сколько копеек в целом бле?)» Учащиеся знают, что целый рубль - это 100 к. I Если это известно, то зная, чему равна его * часть, они опре-1лят неизвестное число, * часть рубля, т. е. 50 к., умножаем на! (знаменатель дроби).
Таким образом рассматриваем решение еще ряда задач, связан-йх с определенным жизненным опытом и наблюдениями учащих-К: «-т- м составляет 25 см. Сколько сантиметров в 1 м?»
Решение. 25 см-4= 100 см.
«На платье израсходовали 3 м материи, что составляет -з- всей пленной материи. Сколько материи купили?» Решение. 3 мхЗ=9 м - это вся купленная материя. Теперь надо убедиться, что -^ от 9 м составляет 3 м, т, е. выполнить проверку, -д- от 9 м мы находить умеем. Нужно 9 м:3=3 м. 3 м - это -т часть всей купленной материи. Значит, задача решена верно.
Когда учащиеся научатся решать задачи на нахождение числа по одной части, необходимо сопоставить решение этих задач с уже известными, т. е. с задачами на нахождение одной части от числа, выявляя сходство, различие в условии, вопросе и решении задач.
Только прием сравнительного анализа позволит отдифференцировать задачи этих двух видов и сознательно подойти к их решению. Для сопоставления эффективнее всего, как показывает опыт, предлагать задачи с одинаковой фабулой:
«В классе 16 учащихся. Девочки составляют -т- часть всех учащихся. Сколько девочек в классе?» Решение Найти -г от 16 учеников. 16 уч.:4=4 уч.
Ответ. В классе 4 девочки.
«В классе 4 девочки, что составляет -у часть всех учащи}! класса. Сколько всего учащихся в классе?»
4 уч. -4=16 уч.
Ответ. В классе 16 учащихся.
Решение задач из задачника Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд за 5 класс на тему:
26. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
1005 Из помидоров массой 5/16 кг и огурцов массой 9/16 кг сделали салат. Какова масса салата?
РЕШЕНИЕ
1006 Масса станка равна 73/100 т, а масса его упаковки 23/100 т. Найдите массу станка вместе с упаковкой.
РЕШЕНИЕ
1007 В первый день картофель посадили на 2/7 участка, а во второй день на 3/7 участка. Какая часть участка была засажена картофелем за эти два дня?
РЕШЕНИЕ
1008 Одна бригада получила 7/10 т гвоздей, а вторая на 3/10 т меньше. Сколько гвоздей получила вторая бригада?
РЕШЕНИЕ
1009 За два дня засеяли 10/11 поля. В первый день засеяли 4/11 поля. Какую часть поля засеяли во второй день?
РЕШЕНИЕ
1010 Цистерна на 3/5 наполнена бензином,1/5 цистерны перелили в бочку. Какая часть цистерны осталась заполненной бензином?
РЕШЕНИЕ
1012 Найдите значение выражения
РЕШЕНИЕ
1013 Из 11 теплиц овощеводческого хозяйства 4 засажены помидорами, а 2 огурцами. Какая часть теплиц занята огурцами и помидорами? Решите задачу двумя способами.
РЕШЕНИЕ
1014 Для посадки леса выделили участок площадью 300 га. Ель высадили на 3/10 участка, а сосну на 4/10 участка. Сколько гектаров занято елью и сосной вместе?
РЕШЕНИЕ
1015 Бригада решила изготовить 175 изделий сверх плана. В первый день она изготовила 9/25 этого количества, во второй день 13/25 этого количества. Сколько изделий изготовила бригада за эти два дня? Сколько изделий ей осталось изготовить?
РЕШЕНИЕ
1016 Картофелем засажено 11/17 поля овощеводческого хозяйства. Огурцами засеяно на 1/17 поля больше, чем морковью, и на 8/17 поля меньше, чем картофелем. Какая часть поля засеяна огурцами и какая морковью? Какая часть поля занята картофелем, огурцами и морковью вместе?
РЕШЕНИЕ
1019 В палатке было 2 ц 70 кг фруктов. Яблоки составляли 5/9 всех фруктов, а груши 1/9 всех фруктов. На сколько масса яблок больше массы груш? Решите задачу двумя способами.
РЕШЕНИЕ
1020 В первый день турист прошел 5/14 всего пути, а во второй день 7/14. Известно, что за эти два дня турист прошел 36 км. Сколько километров составляет весь путь туриста?
РЕШЕНИЕ
1021 Первый рассказ занимал 5/13 книги, а второй рассказ 2/13 книги. Известно, что первый рассказ занимал на 12 страниц больше, чем второй. Сколько страниц во всей книге?
РЕШЕНИЕ
1022 Воспользовавшись равенством 4/25 + 12/25= 16/25 найдите значения выражении и решите уравнения
РЕШЕНИЕ
1024 На экскурсию отправляются 260 человек. Сколько нужно заказать автобусов, если в каждом автобусе должно быть не более 30 пассажиров?
РЕШЕНИЕ
1025 Начертите отрезок. Затем начертите отрезок, длина которого равна
РЕШЕНИЕ
1026 Найдите координаты точек A, B, C, D, E, M, К (рис. 128) и сравните эти координаты с 1.
РЕШЕНИЕ
1027 Вычислите периметр и площадь треугольника ABC (рис. 129)
РЕШЕНИЕ
1030 Найдите все значения x, при которых дробь x/15 будет правильной, а дробь 8/x неправильной.
РЕШЕНИЕ
1031 Назовите 3 правильные дроби, числитель которых больше, чем 100. Назовите 3 неправильные дроби, знаменатель которых больше, чем 200.
РЕШЕНИЕ
1033 Длина прямоугольного параллелепипеда 8 м, ширина 6 м и высота 12 м. Найдите сумму площадей наибольшей и наименьшей граней этого параллелепипеда.
РЕШЕНИЕ
1034 Для изготовления 750 м вискозной ткани требуется 10 кг целлюлозы. Из 1 м3 древесины можно получить 200 кг целлюлозы. Сколько метров вискозной ткани можно получить из 20 м3 древесины?
РЕШЕНИЕ
1035 Кодовый замок имеет шесть кнопок. Чтобы его открыть, нужно нажать кнопки в определенной последовательности набрать код. Сколько существует вариантов кода для этого замка?
РЕШЕНИЕ
1036 Решите уравнение: а) (x - 111) · 59 = 11 918; б) 975(x - 615) = 12 675; в) (30 901 - a) : 605 = 51; г) 39 765: (b - 893) = 1205.
РЕШЕНИЕ
1037 Решите задачу: 1) Из 30 высаженных семян взошли 23. Какая часть высаженных семян взошла? 2) На пруду плавали 40 лебедей. Из них 30 были белыми. Какую часть всех лебедей составляли белые лебеди?
РЕШЕНИЕ
1038 Найдите значение выражения: 1) 76 · (3569 + 2795) - (24 078 + 30 785); 2) (43 512-43 006) · 805 - (48 987 + 297 305)
РЕШЕНИЕ
1039 За первый час было расчищено от снега 5/17 всей дороги, а за второй час 9/17 всей дороги. Какая часть дороги была расчищена от снега за эти два часа? На какую часть дороги было расчищено меньше в первый час, чем во второй?
РЕШЕНИЕ
1040 На платье для первой куклы было израсходовано 6/25 м ткани, а на платье для второй куклы 9/25 ткани. Сколько ткани было израсходовано на оба платья? На сколько больше ткани было израсходовано на платье второй куклы, чем на платье первой куклы?
Разные действия с дробями можно выполнять, например, сложение дробей. Сложение дробей можно разделить на несколько видов. В каждом виде сложения дробей свои правила и алгоритм действий. Рассмотрим подробно каждый вид сложения.
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.
На примере посмотрим, как складывать дроби с общим знаменателем.
Туристы пошли в поход из точки A в точку E. В первый день они прошли от точки A до B или \(\frac{1}{5}\) от всего пути. Во второй день они прошли от точки B до D или \(\frac{2}{5}\) от всего пути. Какое расстояние они прошли от начала пути до точки D?
Чтобы найти расстояние от точки A до точки D нужно сложить дроби \(\frac{1}{5} + \frac{2}{5}\).
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями заключается в том, что нужно числители этих дробей сложить, а знаменатель останется прежний.
\(\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{1 + 2}{5} = \frac{3}{5}\)
В буквенном виде сумма дробей с одинаковыми знаменателями будет выглядеть так:
\(\bf \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}\)
Ответ: туристы прошли \(\frac{3}{5}\) всего пути.
Сложение дробей с разными знаменателями.
Рассмотрим пример:
Нужно сложить две дроби \(\frac{3}{4}\) и \(\frac{2}{7}\).
Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно сначала найти , а потом воспользоваться правилом сложения дробей с одинаковыми знаменателями.
Для знаменателей 4 и 7 общим знаменателем будет число 28. Первую дробь \(\frac{3}{4}\) нужно умножить на 7. Вторую дробь \(\frac{2}{7}\) нужно умножить на 4.
\(\frac{3}{4} + \frac{2}{7} = \frac{3 \times \color{red} {7} + 2 \times \color{red} {4}}{4 \times \color{red} {7}} = \frac{21 + 8}{28} = \frac{29}{28} = 1\frac{1}{28}\)
В буквенном виде получаем такую формулу:
\(\bf \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d + c \times b}{b \times d}\)
Сложение смешанных чисел или смешанных дробей.
Сложение происходит по закону сложения.
У смешанных дробей складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.
Если дробные части смешанных чисел имеют одинаковые знаменатели, то числители складываем, а знаменатель остается тот же.
Сложим смешанные числа \(3\frac{6}{11}\) и \(1\frac{3}{11}\).
\(3\frac{6}{11} + 1\frac{3}{11} = (\color{red} {3} + \color{blue} {\frac{6}{11}}) + (\color{red} {1} + \color{blue} {\frac{3}{11}}) = (\color{red} {3} + \color{red} {1}) + (\color{blue} {\frac{6}{11}} + \color{blue} {\frac{3}{11}}) = \color{red}{4} + (\color{blue} {\frac{6 + 3}{11}}) = \color{red}{4} + \color{blue} {\frac{9}{11}} = \color{red}{4} \color{blue} {\frac{9}{11}}\)
Если дробные части смешанных чисел имею разные знаменатели, то находим общий знаменатель.
Выполним сложение смешанных чисел \(7\frac{1}{8}\) и \(2\frac{1}{6}\).
Знаменатель разный, поэтому нужно найти общий знаменатель, он равен 24. Умножим первую дробь \(7\frac{1}{8}\) на дополнительный множитель 3, а вторую дробь \(2\frac{1}{6}\) на 4.
\(7\frac{1}{8} + 2\frac{1}{6} = 7\frac{1 \times \color{red} {3}}{8 \times \color{red} {3}} = 2\frac{1 \times \color{red} {4}}{6 \times \color{red} {4}} =7\frac{3}{24} + 2\frac{4}{24} = 9\frac{7}{24}\)
Вопросы по теме:
Как складывать дроби?
Ответ: сначала надо определиться к какому типу относиться выражение: у дробей одинаковые знаменатели, разные знаменатели или смешанные дроби. В зависимости от типа выражения переходим к алгоритму решения.
Как решать дроби с разными знаменателями?
Ответ: необходимо найти общий знаменатель, а дальше по правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями.
Как решать смешанные дроби?
Ответ: складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.
Пример №1:
Может ли сумма двух в результате получить правильную дробь? Неправильную дробь? Приведите примеры.
\(\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2 + 3}{7} = \frac{5}{7}\)
Дробь \(\frac{5}{7}\) это правильная дробь, она является результатом суммы двух правильных дробей \(\frac{2}{7}\) и \(\frac{3}{7}\).
\(\frac{2}{5} + \frac{8}{9} = \frac{2 \times 9 + 8 \times 5}{5 \times 9} =\frac{18 + 40}{45} = \frac{58}{45}\)
Дробь \(\frac{58}{45}\) является неправильной дроби, она получилась в результате суммы правильных дробей \(\frac{2}{5}\) и \(\frac{8}{9}\).
Ответ: на оба вопроса ответ да.
Пример №2:
Сложите дроби: а) \(\frac{3}{11} + \frac{5}{11}\) б) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{9}\).
а) \(\frac{3}{11} + \frac{5}{11} = \frac{3 + 5}{11} = \frac{8}{11}\)
б) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{9} = \frac{1 \times \color{red} {3}}{3 \times \color{red} {3}} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} + \frac{2}{9} = \frac{5}{9}\)
Пример №3:
Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби: а) \(1\frac{9}{47}\) б) \(5\frac{1}{3}\)
а) \(1\frac{9}{47} = 1 + \frac{9}{47}\)
б) \(5\frac{1}{3} = 5 + \frac{1}{3}\)
Пример №4:
Вычислите сумму: а) \(8\frac{5}{7} + 2\frac{1}{7}\) б) \(2\frac{9}{13} + \frac{2}{13}\) в) \(7\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15}\)
а) \(8\frac{5}{7} + 2\frac{1}{7} = (8 + 2) + (\frac{5}{7} + \frac{1}{7}) = 10 + \frac{6}{7} = 10\frac{6}{7}\)
б) \(2\frac{9}{13} + \frac{2}{13} = 2 + (\frac{9}{13} + \frac{2}{13}) = 2\frac{11}{13} \)
в) \(7\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15} = 7\frac{2 \times 3}{5 \times 3} + 3\frac{4}{15} = 7\frac{6}{15} + 3\frac{4}{15} = (7 + 3)+(\frac{6}{15} + \frac{4}{15}) = 10 + \frac{10}{15} = 10\frac{10}{15} = 10\frac{2}{3}\)
Задача №1:
За обедам съели \(\frac{8}{11}\) от торта, а вечером за ужином съели \(\frac{3}{11}\). Как вы думаете торт полностью съели или нет?
Решение:
Знаменатель дроби равен 11, он указывает на сколько частей разделили торт. В обед съели 8 кусочков торта из 11. За ужином съели 3 кусочка торта из 11. Сложим 8 + 3 = 11, съели кусочков торта из 11, то есть весь торт.
\(\frac{8}{11} + \frac{3}{11} = \frac{11}{11} = 1\)
Ответ: весь торт съели.
Обратите внимание! Перед тем как написать окончательный ответ, посмотрите, может можно сократить дробь , которую вы получили.
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, примеры:
,
,
Вычитание правильной дроби из единицы.
Если необходимо вычесть из единицы дробь, которая является правильной , единицу переводят к виду неправильной дроби , у нее знаменатель равен знаменателю вычитаемой дроби.
Пример вычитания правильной дроби из единицы:
Знаменатель вычитаемой дроби = 7 , т.е., единицу представляем в виде неправильной дроби 7/7 и вычитаем по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.
Вычитание правильной дроби из целого числа.
Правила вычитания дробей - правильной из целого числа (натурального числа) :
- Переводим заданные дроби, которые содержат целую часть, в неправильные. Получаем нормальные слагаемые (не важно если они с разными знаменателями), которые считаем по правилам, приведенным выше;
- Далее вычисляем разность дробей, которые мы получили. В результате мы почти найдем ответ;
- Выполняем обратное преобразование, то есть избавляемся от неправильной дроби - выделяем в дроби целую часть.
Вычтем из целого числа правильную дробь: представляем натуральное число в виде смешанного числа. Т.е. занимаем единицу в натуральном числе и переводим её к виду неправильной дроби, знаменатель при этом такой же, как у вычитаемой дроби.
Пример вычитания дробей:
В примере единицу мы заменили неправильной дробью 7/7 и вместо 3 записали смешанное число и от дробной части отняли дробь.
Вычитание дробей с разными знаменателями.
Или, если сказать другими словами, вычитание разных дробей .
Правило вычитания дробей с разными знаменателями. Для того, чтобы произвести вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо, для начала, привести эти дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ) , и только послеиэтого произвести вычитание как с дробями с одинаковыми знаменателями.
Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное) натуральных чисел, которые являются знаменателями данных дробей.
Внимание! Если в конечной дроби у числителя и знаменателя есть общие множители , то дробь необходимо сократить. Неправильную дробь лучше представить в виде смешанной дроби. Оставить результат вычитания, не сократив дробь, где есть возможность, — это незаконченное решение примера!
Порядок действий при вычитании дробей с разными знаменателями.
- найти НОК для всех знаменателей;
- поставить для всех дробей дополнительные множители;
- умножить все числители на дополнительный множитель;
- полученные произведения записываем в числитель, подписывая под всеми дробями общий знаменатель;
- произвести вычитание числителей дробей, подписывая под разностью общий знаменатель.
Таким же образом проводится сложение и вычитание дробей при наличии в числителе букв.
Вычитание дробей, примеры:
Вычитание смешанных дробей.
При вычитании смешанных дробей (чисел) отдельно из целой части вычитают целую часть, а из дробной части вычитают дробную часть.
Первый вариант вычитания смешанных дробей.
Если у дробных частей одинаковые знаменатели и числитель дробной части уменьшаемого (из него вычитаем) ≥ числителю дробной части вычитаемого (его вычитаем).
Например:
Второй вариант вычитания смешанных дробей.
Когда у дробных частей разные знаменатели. Для начала приводим к общему знаменателю дробные части, а после этого выполняем вычитание целой части из целой, а дробной из дробной.
Например:
Третий вариант вычитания смешанных дробей.
Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.
Пример:
Т.к. у дробных частей разные знаменатели, значит, как и при втором варианте, сначала приводим обыкновенные дроби к общему знаменателю.
Числитель дробной части уменьшаемого меньше числителя дробной части вычитаемого. 3 < 14. Значит, занимаем единицу из целой части и приводим эту единицу к виду неправильной дроби с одинаковым знаменателем и числителем = 18.
В числителе от правой части пишем сумму числителей, дальше раскрываем скобки в числителе от правой части, то есть умножаем все и приводим подобные. В знаменателе скобки не раскрываем. В знаменателях принято оставлять произведение. Получаем:
Предмет: математика
Класс: 5
Тема урока: Сложение и вычитание обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями
Базовый учебник: И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович «Математика. 5 класс»
Тип урока: Урок изучения нового материала
Цели урока:
- Обучающая : научить выполнять сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями; повторить понятия “Правильная, неправильная дробь”, обобщить и закрепить знания учащихся по сравнению дробей.
- Развивающая: развивать внимание; познавательную активность.
- Воспитательная: в оспитывать аккуратность при записи примеров и задач с обыкновенными дробями.
Задачи: обобщить и систематизировать знания: Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями; учиться работать самостоятельно, делать выводы.
Планируемый результат обучения, в том числе и формирование УУД:
Познавательные УУД: формировать навыки сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями; научить правильно читать и записывать выражения, содержащие обыкновенные дроби; формировать умение решать задачи на сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями; применять полученные знания при решении задач.
Коммуникативные УУД: воспитывать любовь к математике, коллективизм, уважение друг к другу, умение слушать, дисциплинированность, самостоятельность мышления.
Регулятивные УУД: понимать учебную задачу урока, осуществлять решение учебной задачи под руководством учителя, определять цель учебного задания, контролировать свои действия в процессе его выполнения, обнаруживать и исправлять ошибки, отвечать на итоговые вопросы и оценивать свои достижения
Личностные УУД: формировать учебную мотивацию, адекватную самооценку, необходимость приобретения новых знаний.
Формы работы: индивидуальная, фронтальная, беседа
Организация деятельности учащихся на уроке:
- самостоятельно выходят на проблему и решают её;
- самостоятельно определяют тему, цели урока;
- выводят определение и правило сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями;
- работают с текстом учебника;
- отвечают на вопросы;
- решают самостоятельно задачи;
- оценивают себя и друг друга;
- рефлектируют.
Методы обучения: словесный, наглядно-иллюстративный, практический
Участники: обучающиеся 5 класса
Ресурсы: мультимедийный проектор, презентация.
Учебно-методическое обеспечение : учебник “Математика. 5 класс” авторов И.И. Зубарева А.Г.Мордкович
Этап урока, время | Название используемых ЭОР | Деятельность учителя (с указанием действий с ЭОР, например, демонстрация) | Деятельность ученика | Формируемые УУД |
||||
Познавательные | Регулятивные | Коммуникативные | Личностные |
|||||
Определение потребностей и мотивов. Орг. Момент 1 мин. | Слайд 1 | приветствие учащихся; проверка учителем готовности класса к уроку; организация внимания. | Включаются в деловой ритм урока | осознанное и произвольное построение речевого высказывания | планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками. | Самоопределение. умение выделять нравственный аспект поведения |
||
Мотивация к учебной деятельности 3 мин. | Слайд 2 | Координирует деятельность учащихся. | Устно решают примеры, повторяют теорию. | логический анализ объектов с целью выделения признаков. | Прогнозирование своей деятельности | Умение слушать и вступать в диалог | Самоопределение. |
|
Актуализация знаний, постановка проблемы и ее решение 2 мин. | Слайд 3 | Мотивирует учащихся. Учитель задает вопросы | Участвуют в работе по повторению, в беседе с учителем, отвечают на поставленные вопросы | Поиск и выделение необходимой информации | Выделение и осознание того, что уже пройдено. Постановка цели учебной задачи, синтез | Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли, слушать и вступать в диалог | Смысло-образование |
|
Принятие учебных целей и условий их достижения Организация познавательной деятельности. 5 мин. | Слайд 4-5 | Учитель задает вопросы | отвечают на вопросы. | анализ, аналогия, осознанное построение речевого высказывания. | Смысло-образование. |
|||
Побуждение учащихся к выдвижению гипотезы. 3 мин. | Слайд 6-7 | Выполнив работу, Вы можете сказать тему сегодняшнего урока? Как сложить дроби с одинаковыми знаменателями? Как вычесть? | Формулируют тему урока: “Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями”. Формулируют правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. | самостоятельное выделение-формулирование познавательной цели, подведение подпонятие, постановка и формулирование проблемы. | инициативное сотрудничество. | Самоопределение |
||
3.1. | Проверка принятой гипотезы. Организация познавательной деятельности. Первичное закрепление. Установление правильности и осознанности изучения темы. 3 мин. | Слайд 8 - 10 | Учитель предлагает рассмотреть решение задач на слайдах | Слушают и смотрят примеры задач, комментируют решение, проверяют друг у друга, работая в паре. Решение на слайдах. | самостоятельное выделение- формулирование познавательной цели; логическое формулирование проблемы, решение проблемы, построение логической цепи рассуждений. | планирование, прогнозирование. | постановка вопросов, инициативное сотрудничество. | Самоопределение |
Выявление пробелов первичного осмысления изученного материала, коррекция выявленных пробелов, обеспечение закрепления в памяти детей знаний и способов действий, которые им необходимы для самостоятельной работы по новому материалу 5 мин. | Слайд 11 | Учитель предлагает работу с заданиями из учебника | Несколько обучающихся записывают решения заданий на доске, комментируя ход решения, остальные записывают в тетрадях эти задания | построение логической цепи рассуждений. | волевая саморегуляция в ситуации затруднения. | выражение своих мыслей, аргументация | Смысло-образование. |
|
3.2. | Динамическая пауза 3 мин. | Слайд 12-13 | Сменить деятельность, обеспечить эмоциональную разгрузку учащихся. | Учащиеся сменили вид деятельности (отдохнули) и готовы продолжать работу. | ||||
4.1. | Итоговый самоконтроль и самооценка. Организация первичного контроля. Выявление качества и уровня усвоения знаний и способов действий, а также выявление недостатков в знаниях и способах действий, установление причин выявленных недостатков 10 мин | Слайд 14 | Организует самостоятельную деятельность учащихся, взаимопроверку. Воспитывает способность принимать самостоятельные решения; развивает навыки самоконтроля. | Самостоятельно выполняют задания, затем проверяют в парах по ключу. | Выделение и формулирование познавательной цели, рефлексия способов и условий действия. Анализ и синтез объектов | контроль, коррекция, выделение и осознание того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения; | Интегрироваться в группу | самоопределение. |
4.2. | Подведение итогов урока. Дать качественную оценку работы класса и отдельных обучаемых 2 мин. | Какую тему мы сегодня изучали? Какие задачи мы сегодня ставили? Наши задачи выполнены? | Отвечают на вопросы: сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, научиться складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями. | Планирование своей деятельности для решения поставленной задачи, контроль полученного результата, коррекция полученного результата, саморегуляция | оценка-осознание уровня и качества усвоения; контроль | Умение слушать и вступать в диалог, Интегрироваться в группу | ||
4.3. | Информация о домашнем задании. Обеспечение понимания детьми цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.1 мин | Слайд 15 | Задает дозированное домашнее задание | Учащиеся записывают домашнее задание в зависимости от уровня освоения темы урока | ||||
4.4. | Рефлексия. Инициировать рефлексию детей по поводу психоэмоционального состояния, мотивации их собственной деятельности и взаимодействия с учителем и другими детьми в классе. 2 мин. | Слайд 16 | Если вы считаете, что не достаточно усвоили материал, то нарисуйте не улыбающийся смайлик. Если вы считаете, что не поняли тему урока, нарисуйте грустный смайлик (Учитель проходит по рядам и просматривает) Мы здорово потрудились. Большое спасибо за урок! | рисуют смайлики в тетрадях | рефлексия способ и условий действия, контроль и оценка процессов результата деятельности, адекватное понимание причин успеха и неуспеха. | Оценка промежуточных результатов и саморегуляция для повышения мотивации учебной деятельности | аргументация своего мнения. | нравственно-этическая ориентация |
Этапы урока:
1. Определение потребностей и мотивов.
1.1. Орг. Момент
1.2. Мотивация к учебной деятельности
Мотивационная беседа.
Слайд 1
Великий педагог Василий Александрович Сухомлинский говорил:«У мственный труд на уроках математики - пробный камень мышления" Поэтому мы с вами сегодня на уроке будем пробовать размышлять, ставит пере собой цели, решать поставленные задачи
Чем же мы будем сегодня с вами заниматься? О чем пойдет беседа на уроке? Для это мы устно посчитаем, а затем из полученных ответов составим ключевые слова
Правильно, о дробях. Но, каких? Узнаете позже.
1.3. Актуализация знаний, постановка проблемы и ее решение.
Слайд 2 -4.
2. Принятие учебных целей и условий их достижения.
2.1. Организация познавательной деятельности.
Работа со слайдом 4: не глядя на рисунок, мы можем сказать, какая часть закрашена красным и зеленым цветом? Каким образом?
Какая часть закрашена красным и зеленым?
Работа со слайдом 5: глядя на рисунок, мы можем сказать, какая часть останется не закрашена, если закрасить синим цветом 4 части, 2 части, 1 часть, 3 части. Какие действия нам пришлось выполнять?
2.2. Побуждение учащихся к выдвижению гипотезы.
А вот теперь скажите: “Как по- вашему, какая сегодня тема урока?”
Правильно. Слайд 6 Запишите тему урока.
Слайд 7-9 Сформулируйте правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. Как складывают дроби с одинаковыми знаменателями? Как вычитают дроби с одинаковыми знаменателями?
3. Проверка принятой гипотезы.
3.1. Организация познавательной деятельности. Первичное закрепление. Установление правильности и осознанности изучения темы. Выявление пробелов первичного осмысления изученного материала, коррекция выявленных пробелов, обеспечение закрепления в памяти детей знаний и способов действий, которые им необходимы для самостоятельной работы по новому материалу.
- Слайд 8
- Слайд 10
Решение проверяют друг у друга.
Молодцы! Хорошее начало.
Работа с учебником № 422, № 426
3.2Динамическая пауза слайд 11
Пока занимались мы, тихо, но прытко
В класс к нам пробралась сеньора ошибка.
Чтоб убралась она без оглядки
Сделать придется
математическую зарядку.
Правильно – вверх, неверно – вперед,
Ответ посчитаем- ошибка уйдет .
На экране будут появляться математические выражения, если вы считаете, что выражение верное, то руки вверх, если нет, то вперед
4. Итоговый самоконтроль и самооценка.
4.1. Организация первичного контроля.
Выявление качества и уровня усвоения знаний и способов действий, а также выявление недостатков в знаниях и способах действий, установление причин выявленных недостатков.
Самостоятельно по вариантам решите примеры.
Проверка друг у друга по ключу. Слайд 14
4.2. Подведение итогов урока. Дать качественную оценку работы класса и отдельных обучаемых. Слайд № 15
4.3. Информация о домашнем задании. Слайд 16
1)с. 118-119 (правила),
№ № 425, № 427
2).Найти загадки про дроби(по желанию)
4.4. Рефлексия. Инициировать рефлексию детей по поводу психоэмоционального состояния, мотивации их собственной деятельности и взаимодействия с учителем и другими детьми в классе. Слайд 17
- Если вы считаете, что поняли тему урока, то нарисуйте улыбающийся смайлик
- Если вы считаете, что не достаточно усвоили материал, то нарисуйте неулыбающийся смайлик.
- Если вы считаете, что не поняли тему урока, то нарисуйте грустный смайлик
Закончить урок словами
"Человек подобен дроби:
- в знаменателе – то, что он о себе думает,
- в числителе – то, что он есть на самом деле.
Чем больше знаменатель, тем меньше дробь".
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
" Умственный труд на уроках математики - пробный камень мышления" Сухомлинский В. А.
37 ? -12 +47: 9 -20 25 72 100 120 8 140 ? : 7 +134 -94 20 8 240 60 154 Решите правильно примеры и составьте слова 8 - О 154 - И 25 - Д 240 - Л 120 - Б 100 - Ь 72 - Р 20 - Ч 60 - С Д Р О Б Ь Ч И С Л О
Как называется? 1. Дробь, в которой числитель меньше знаменателя 2. Дробь, в которой числитель больше знаменателя 3. Число, стоящее над чертой 4. Число, стоящее под чертой дроби
Какая часть фигуры закрашена зеленым закрашена красным закрашена красным и зеленым 6 1 6 3 6 2 6 2 6 2 6 1 6 2 6 3 6 3 6 4 6 4 6 5
Какая часть фигуры останется не закрашена, если закрасить синим цветом: 4 части 3 части 1 часть 2 части 6 2 6 3 6 5 6 4
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями 03.12.14 г.
При сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складываются, а знаменатель оставляют без изменения. Буквенная запись Запомни правило
Кот Леопольд приготовил торт на свой День рождения. И позвал в гости мышат. Сначала на тарелку он положил 9 долей, а потом еще 2 доли. На тарелке оказалось 11 долей, то есть торта: 17 частей
При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, а знаменатель оставляют без изменения. Буквенная запись
Кот Леопольд разрезал торт на 17 долей. На тарелку положил 11 долей, а потом 9 долей съели мышата. Осталось 2 доли, то есть торта:
Выполнение упражнений из учебника № 422; № 426
Динамическая пауза Пока занимались мы, тихо, но прытко В класс к нам пробралась сеньора ошибка. Чтоб убралась она без оглядки Сделать придется математическую зарядку. Правильно – вверх, неверно – вперед, Ответ посчитаем- ошибка уйдет.
Самостоятельная работа I вариант II вариант 15 22 7 22 18 33 13 33 44 65 37 65 12 19 5 19 6 19 11 18 5 18 13 27 6 27 33 58 26 58 15 21 7 21 5 21 "5" - без ошибок; "4" - 1 ошибка; "3" - 2 ошибки
Какую тему мы сегодня изучали? Какие задачи мы сегодня ставили? Наши задачи выполнены?
Домашнее задание № 425 № 427, учить правила с. 118-119 Найти загадки про дроби (по желанию)
Нарисуйте смайлик Если вы считаете, что усвоили тему урока Если вы считаете, что не достаточно усвоили тему урока Если вы считаете, что не поняли тему урока
Мальчик играл в компьютер 3 часа. Какую часть суток играл мальчик? Ответ: Масса яблока 300 г. Какую часть килограмма составляет масса яблока? Ответ:
Петя в июне и июле был у бабушки в деревне. Какую часть года провел Петя у бабушки? Лена читала книгу 15 мин. Какую часть часа Лена читала? Ответ: Ответ:
В доме окон. Вечером, в окнах загорелся свет. А потом ещё в. Какая часть окон осталась без света?
Проверим решение 1 способ 2 способ
Восстановите таблицу так, чтобы дроби не повторялись в строках и столбцах таблицы Какую часть таблицы составляют неправильные дроби? Сравните дроби
