Перемещение при равноускоренном движении. Уравнение координаты
Теперь мы должны выяснить самое главное - как изменяется координата тела при его прямолинейном равноускоренном движении. Для этого, как мы знаем, нужно знать перемещение тела, потому что проекция вектора перемещения как раз и равна изменению координаты.
Формулу для вычисления перемещения проще всего получить графическим методом.
При равноускоренном движении тела вдоль оси X скорость изменяется со временем согласно формуле v x = v 0х + a x t Так как время в эту формулу входит в первой степени, то график для проекции скорости в зависимости от времени представляет собой прямую, как это показано на рисунке 39. Прямая 1 на этом рисунке соответствует движению с положительной проекцией ускорения (скорость растет), прямая 2 - движению с отрицательной проекцией ускорения (скорость убывает). Оба графика относятся к случаю, когда в момент времени t = О тело имеет некоторую начальную скорость v 0 .
Перемещение выражается площадью. Выделим на графике скорости равноускоренного движения (рис. 40) маленький участок ab и опустим из точек а и Ь перпендикуляры на ось t. Длина отрезка cd на оси t в выбранном масштабе равна тому малому промежутку времени, за который скорость изменилась от ее значения в точке а до ее значения в точке Ь. Под участком ab графика получилась узкая полоска abсd.
Если промежуток времени, соответствующий отрезку cd, достаточно мал, то в течение этого малого времени скорость не может заметно измениться - движение в течение этого малого промежутка времени можно считать равномерным. Полоска abсd поэтому мало отличается от прямоугольника, а ее площадь численно равна проекции перемещения за время, соответствующее отрезку cd (см. § 7).
Но на такие узкие полоски можно разбить всю площадь фигуры, расположенной под графиком скорости. Следовательно, перемещение за все время t численно равно площади трапеции ОАВС. Площадь же трапеции, как известно из геометрии, равна произведению полусуммы ее оснований на высоту. В нашем случае длина одного из оснований численно равна v ox , другого-v x (см. рис. 40). Высота же трапеции численно равна t. Отсюда следует, что проекция s x перемещения выражается формулой
3с 15.09
Если проекция v ox начальной скорости равна нулю (в начальный момент времени тело покоилось!), то формула (1) принимает вид:
График скорости такого движения показан на рисунке 41.
При пользовании формулами (1) и (2) НУЖНО ПОМНИТЬ, ЧТО S x , V ox и v x могут быть как положительным», так и отрицательными - ведь это проекции векторов s, v o и v на ось X.
Таким образом, мы видим, что при равноускоренном движении перемещение растет со временем не так, как при равномерном движении: теперь в формулу входит квадрат времени. Это значит, что перемещение со временем растет быстрее, чем при равномерном движении.
Как зависит от времени координата тела? Теперь легко получить и формулу для вычисления координаты х в любой момент времени для тела, движущегося равноускоренно.
проекция s x вектора перемещения равна изменению координаты х-х 0 . Поэтому можно записать
Из формулы (3) видно, что, для того чтобы вычислить координату х в любой момент времени t, нужно знать начальную координату, начальную скорость и ускорение.
Формула (3) описывает прямолинейное равноускоренное движение, подобно тому как формула (2) § 6 описывает прямолинейное равномерное движение.
Другая формула для перемещения. Для вычисления перемещения можно получить и другую полезную формулу, в которую время не входит.
Из выражения v x = v 0x + a x t. получим выражение для времени
t = (v x - v 0x): a x и подставим его в формулу для перемещения s x , приведенную выше. Тогда получаем:
Эти формулы позволяют найти перемещение тела, если известны ускорение, а также начальная и конечная скорости движения. Если начальная скорость v o равна нулю, формулы (4) принимают вид:
Как, зная тормозной путь, определить начальную скорость автомобиля и как, зная характеристики движения, такие как начальная скорость, ускорение, время, определить перемещение автомобиля? Ответы мы получим после того, как познакомимся с темой сегодняшнего урока: «Перемещение при равноускоренном движении, зависимость координаты от времени при равноускоренном движении»
При равноускоренном движении график имеет вид прямой линии, уходящей вверх, так как его проекция ускорения больше нуля.
При равномерном прямолинейном движении площадь численно будет равна модулю проекции перемещения тела. Оказывается, этот факт можно обобщить для случая не только равномерного движения, но и для любого движения, то есть показать, что площадь под графиком численно равна модулю проекции перемещения. Это делается строго математически, но мы воспользуемся графическим способом.
Рис. 2. График зависимости скорости от времени при равноускоренном движении ()
Разобьем график проекции скорости от времени для равноускоренного движения на небольшие промежутки времени Δt. Предположим, что они так малы, что на их протяжении скорость практически не менялась, то есть график линейной зависимости на рисунке мы условно превратим в лесенку. На каждой ее ступеньке мы считаем, что скорость практически не поменялась. Представим, что промежутки времени Δt мы сделаем бесконечно малыми. В математике говорят: совершаем предельный переход. В этом случае площадь такой лесенки будет неограниченно близко совпадать с площадью трапеции, которую ограничивает график V x (t). А это значит, что и для случая равноускоренного движения можно сказать, что модуль проекции перемещения численно равен площади, ограниченной графиком V x (t): осями абсцисс и ординат и перпендикуляром, опущенным на ось абсцисс, то есть площади трапеции ОАВС, которую мы видим на рисунке 2.
Задача из физической превращается в математическую задачу - поиск площади трапеции. Это стандартная ситуация, когда ученые физики составляют модель, которая описывает то или иное явление, а затем в дело вступает математика, которая обогащает эту модель уравнениями, законами - тем, что превращает модель в теорию.
Находим площадь трапеции: трапеция является прямоугольной, так как угол между осями - 90 0 , разобьем трапецию на две фигуры - прямоугольник и треугольник. Очевидно, что общая площадь будет равна сумме площадей этих фигур (рис. 3). Найдем их площади: площадь прямоугольника равна произведению сторон, то есть V 0x · t, площадь прямоугольного треугольника будет равна половине произведения катетов - 1/2АD·BD, подставив значения проекций, получим: 1/2t·(V x - V 0x), а, вспомнив закон изменения скорости от времени при равноускоренном движении: V x (t) = V 0x + а х t, совершенно очевидно, что разность проекций скоростей равна произведению проекции ускорения а х на время t, то есть V x - V 0x = а х t.
Рис. 3. Определение площади трапеции (Источник)
Учитывая тот факт, что площадь трапеции численно равна модулю проекции перемещения, получим:
S х(t) = V 0 x t + а х t 2 /2
Мы с вами получили закон зависимости проекции перемещения от времени при равноускоренном движении в скалярной форме, в векторной форме он будет выглядеть так:
(t) = t + t 2 / 2
Выведем еще одну формулу для проекции перемещения, в которую не будет входить в качестве переменной время. Решим систему уравнений, исключив из нее время:
S x (t) = V 0 x + а х t 2 /2
V x (t) = V 0 x + а х t
Представим, что время нам неизвестно, тогда выразим время из второго уравнения:
t = V x - V 0x / а х
Подставим полученное значение в первое уравнение:
Получим такое громоздкое выражение, возведем в квадрат и приведем подобные:
Мы получили очень удобное выражение проекции перемещения для случая, когда нам неизвестно время движения.
Пусть у нас начальная скорость автомобиля, когда началось торможение, составляет V 0 = 72 км/ч, конечная скорость V = 0, ускорение а = 4 м/с 2 . Узнаем длину тормозного пути. Переведя километры в метры и подставив значения в формулу, получим, что тормозной путь составит:
S x = 0 - 400(м/с) 2 / -2 · 4 м/с 2 = 50 м
Проанализируем следующую формулу:
S x = (V 0 x + V x) / 2 · t
Проекция перемещения- это полусумма проекций начальной и конечной скоростей, умноженная на время движения. Вспомним формулу перемещения для средней скорости
S x = V ср · t
В случае равноускоренного движения средняя скорость будет:
V ср = (V 0 + V к) / 2
Мы вплотную подошли к решению главной задачи механики равноускоренного движения, то есть получению закона, по которому меняется координата со временем:
х(t) = х 0 + V 0 x t + а х t 2 /2
Для того чтобы научиться пользоваться этим законом, разберем типичную задачу.
Автомобиль, двигаясь из состояния покоя, приобретает ускорение 2 м/с 2 . Найти путь, который прошел автомобиль за 3 секунды и за третью секунду.
Дано: V 0 x = 0
Запишем закон, по которому меняется перемещение со временем при
равноускоренном движении: S х = V 0 x t + а х t 2 /2. 2 c < Δt 2 < 3.
Мы можем ответить на первый вопрос задачи, подставив данные:
t 1 = 3 c S 1х = а х t 2 /2 = 2· 3 2 / 2 = 9 (м) - это путь, который прошел
c автомобиль за 3 секунды.
Узнаем сколько он проехал за 2 секунды:
S х (2 с) = а х t 2 /2 = 2· 2 2 / 2 = 4 (м)
Итак, мы с вами знаем, что за две секунды автомобиль проехал 4 метра.
Теперь, зная два эти расстояния, мы можем найти путь, который он прошел за третью секунду:
S 2х = S 1х + S х (2 с) = 9 - 4 = 5 (м)
Прямолинейное равномерное движение - это такое движение, при котором за одинаковые промежутки времени, тело проходит одинаковое расстояние.
Равномерное движение - это такое движение тела, при котором его скорость остается постоянной (),то есть все время движется с одной скоростью, а ускорение или замедление не происходит ().
Прямолинейное движение - это движение тела по прямой линии, то есть траектория у нас получается - прямая.
Скорость равномерного прямолинейного движения не зависит от времени и в каждой точке траектории направлена также, как и перемещение тела. То есть вектор скорости совпадает с вектором перемещения. При всем этом средняя скорость в любой промежуток времени равна начальной и мгновенной скорости:
Скорость равномерного прямолинейного движения - это физическая векторная величина, равная отношению перемещения тела за любой промежуток времен к значению этого промежутка t:
Из данной формулы. мы легко можем выразить перемещение тела при равномерном движении:
Рассмотрим зависимость скорости и перемещения от времени
Так как тело у нас движется прямолинейно и равноускоренно (), то график с зависимостью скорости от времени будет выгладить, как параллельная прямая оси времени.
В зависимости проекции скорости тела от времени ничего сложного нет. Проекция перемещения тела численно равна площади прямоугольника АОВС, так как величина вектора перемещения равна произведению вектора скорости на время, за которое было совершено перемещение.
На графике мы видим зависимость перемещения от времени .
Из графика видно, что проекция скорости равна:
Рассмотрев эту формулу. мы можем сказать, чем больше угол, тем быстрей движется наше тело и оно проходит больший путь за меньшее время
Выведем формулу, с помощью которой можно рассчитать проекцию вектора перемещения тела, движущегося прямолинейно и равноускоренно, за любой промежуток времени. Для этого обратимся к рисунку 14. Как на рисунке 14, а, так и на рисунке 14, б отрезок АС представляет собой график проекции вектора скорости тела, движущегося с постоянным ускорением а (при начальной скорости v 0).
Рис. 14. Проекция вектора перемещения тела, движущегося прямолинейно и равноускоренно, численно равна площади S под графиком
Напомним, что при прямолинейном равномерном движении тела проекция вектора перемещения, совершенного этим телом, определяется по той же формуле, что и площадь прямоугольника, заключённого под графиком проекции вектора скорости (см. рис. 6). Поэтому проекция вектора перемещения численно равна площади этого прямоугольника.
Докажем, что и в случае прямолинейного равноускоренного движения проекцию вектора перемещения s x можно определять по той же формуле, что и площадь фигуры, заключённой между графиком АС, осью Ot и отрезками ОА и ВС, т. е. что и в этом случае проекция вектора перемещения численно равна площади фигуры под графиком скорости. Для этого на оси Ot (см. рис. 14, а) выделим маленький промежуток времени db. Из точек d и b проведём перпендикуляры к оси Ot до их пересечения с графиком проекции вектора скорости в точках а и с.
Таким образом, за промежуток времени, соответствующий отрезку db, скорость тела меняется от v ах до v cx .
За достаточно малый промежуток времени проекция вектора скорости меняется очень незначительно. Поэтому движение тела в течение этого промежутка времени мало отличается от равномерного, т. е. от движения с постоянной скоростью.
На такие полоски можно разбить всю площадь фигуры ОАСВ, являющейся трапецией. Следовательно, проекция вектора перемещения sx за промежуток времени, соответствующий отрезку ОВ, численно равна площади S трапеции ОАСВ и определяется по той же формуле, что и эта площадь.
Согласно правилу, приведённому в школьных курсах геометрии, площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту. Из рисунка 14, б видно, что основаниями трапеции ОАСВ являются отрезки ОА = v 0x и ВС = v x , а высотой - отрезок OB = t. Следовательно,
Поскольку v x = v 0x + a x t, a S = s x , то можно записать:
Таким образом, мы получили формулу для расчёта проекции вектора перемещения при равноускоренном движении.
По этой же формуле рассчитывают проекцию вектора перемещения и при движении тела с уменьшающейся по модулю скоростью, только в этом случае векторы скорости и ускорения будут направлены в противоположные стороны, поэтому их проекции будут иметь разные знаки.
Вопросы
- Пользуясь рисунком 14, а, докажите, что проекция вектора перемещения при равноускоренном движении численно равна площади фигуры ОАСВ.
- Запишите уравнение для определения проекции вектора перемещения тела при его прямолинейном равноускоренном движении.
