Как найти корень квадратный. Извлечение квадратного корня из многозначного числа
Вы хотите хорошо сдать ЕГЭ по математике? Тогда вам необходимо уметь считать быстро, правильно и без калькулятора. Ведь главная причина потери баллов на ЕГЭ по математике – вычислительные ошибки.
По правилам проведения ЕГЭ, пользоваться калькулятором на экзамене по математике запрещается. Цена может быть слишком высокой - удаление с экзамена.
На самом деле калькулятор на ЕГЭ по математике не нужен. Все задачи решаются без него. Главное – внимание, аккуратность и некоторые секретные приемы, о которых мы расскажем.
Начнем с главного правила. Если какое-то вычисление можно упростить – упростите его.
Вот, например, такое «дьявольское уравнение»:
Семьдесят процентов выпускников решают его «в лоб». Считают дискриминант по формуле , после чего говорят, что корень невозможно извлечь без калькулятора. Но ведь можно разделить левую и правую части уравнения на . Получится
Какой способ проще? :-)
Многие школьники не любят умножение в «столбик». Никому не нравилось в четвертом классе решать скучные «примеры». Однако перемножить числа во многих случаях можно и без «столбика», в строчку. Это намного быстрее.
Обратите внимание, что мы начинаем не с меньших разрядов, а с бoльших. Это удобно.
Теперь – деление. Нелегко «в столбик» разделить на . Но вспомним, что знак деления: и дробная черта – одно и то же. Запишем в виде дроби и сократим дробь:
Другой пример.
Как быстро и без всяких столбиков возвести в квадрат двузначное число? Применяем формулы сокращенного умножения:
Иногда удобно использовать и другую формулу:
Числа, оканчивающиеся на , в квадрат возводятся моментально.
Допустим, надо найти квадрат числа ( - не обязательно цифра, любое натуральное число). Умножаем на и к результату приписываем . Всё!
Например: ( и приписали ).
( и приписали ).
( и приписали ).
Этот способ полезен не только для возведения в квадрат, но для извлечения квадратного корня из чисел, оканчивающихся на .
А как вообще извлечь квадратный корень без калькулятора? Покажем два способа.
Первый способ – разложение подкоренного выражения на множители.
Например, найдем
Число делится на (так как сумма его цифр делится на ). Разложим на множители:
Найдем . Это число делится на . На оно тоже делится. Раскладываем на множители.
Еще пример.
Есть и второй способ. Он удобен, если число, из которого надо извлечь корень, никак не получается разложить на множители.
Например, надо найти . Число под корнем – нечетное, оно не делится на , не делится на , не делится на ... Можно и дальше искать, на что же оно все-таки делится, а можно поступить проще – найти этот корень подбором.
Очевидно, что в квадрат возводили двузначное число, которое находится между числами и , поскольку , , а число находится между ними. Первую цифру в ответе мы уже знаем, это .
Последняя цифра в числе равна . Поскольку , , последняя цифра в ответе – либо , либо . Проверим:
. Получилось!
Найдем .
Значит, первая цифра в ответе – пятерка.
В числе последняя цифра – девятка. , . Значит, последняя цифра в ответе – либо , либо .
Проверим:
Если число, из которого надо извлечь квадратный корень, заканчивается на или – значит, квадратный корень из него будет числом иррациональным. Потому что ни один квадрат целого числа не заканчивается на или . Помните, что в задачах части вариантов ЕГЭ по математике ответ должен быть записан в виде целого числа или конечной десятичной дроби, то есть должен являться рациональным числом.
Квадратные уравнения встречаются нам в задачах , и вариантов ЕГЭ, а также в части . В них нужно считать дискриминант, а затем извлекать из него корень. И совсем не обязательно искать корни из пятизначных чисел. Во многих случаях дискриминант удается разложить на множители.
Например, в уравнении
Еще одна ситуация, в которой выражение под корнем можно разложить на множители, взята из задачи .
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна , один из катетов равен , найти второй катет.
По теореме Пифагора, он равен . Можно долго считать в столбик, но проще применить формулу сокращенного умножения.
А теперь расскажем самое интересное - из-за чего все-таки выпускники теряют на ЕГЭ драгоценные баллы. Ведь ошибки в вычислениях возникают не просто так.
1
. Верный путь к потере баллов - неаккуратные вычисления, в которых что-то исправлено, зачеркнуто, одна цифра написана поверх другой. Посмотрите на свои черновики. Возможно, они выглядят так же? :-)
Пишите разборчиво! Не экономьте бумагу. Если что-то неправильно – не исправляйте одну цифру на другую, лучше напишите заново.
2 . Почему-то многие школьники, считая в столбик, стараются сделать это 1) очень-очень быстро, 2) очень мелкими цифрами, в уголке тетради и 3) карандашом. В результате получается вот что:
Разобрать что-либо невозможно. Что ж тогда удивляться, что оценка за ЕГЭ ниже, чем ожидали?
3 . Многие школьники привыкли игнорировать скобки в выражениях. Иногда встречается и такое:
Помните, что знак равенства ставится не где попало, а только между равными величинами. Пишите грамотно, даже на черновике.
4
. Огромное количество вычислительных ошибок связано с дробями. Если вы делите дробь на дробь – пользуйтесь тем, что
Здесь нарисован «гамбургер», то есть многоэтажная дробь. Крайне сложно при таком способе получить правильный ответ.
Подведем итоги.
Проверка заданий первой части профильного ЕГЭ по математике - автоматическая. Здесь не бывает «почти правильного» ответа. Либо он правилен, либо нет. Одна вычислительная ошибка – и привет, задача не засчитывается. Поэтому в ваших интересах научиться считать быстро, правильно и без калькулятора.
Задания второй части профильного ЕГЭ по математике проверяет эксперт. Позаботьтесь о нем! Пусть ему будет понятен и ваш почерк, и логика решения.
Соколов Лев Владимирович, учащийся 8 класса МКОУ «Тугулымская В(С)ОШ»
Цель работы: найти и показать те способы извлечения квадратных корней, которыми можно будет воспользоваться, не имея под рукой калькулятора.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Районная научно-практическая конференция
обучающихся Тугулымского городского округа
Извлечение квадратных корней из больших чисел без калькулятора
Исполнитель: Лев Соколов,
МКОУ «Тугулымская В(С)ОШ»,
8 класс
Руководитель: Сидорова Татьяна
Николаевна
р.п. Тугулым, 2016 г.
Введение 3
Глава 1. Способ разложения на простые множители 4
Глава 2. Извлечение квадратного корня уголком 4
Глава 3. Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел 6
Глава 4. Формула Древнего Вавилона 6
Глава 6. Канадский метод 7
Глава 7. Метод подбора угадыванием 8
Глава 8 . Метод вычетов нечётного числа 8
Заключение 10
Список литературы 11
Приложение 12
Введение
Актуальность исследования, когда я изучал тему квадратные корни в этом учебном году, то меня заинтересовал вопрос, как можно извлечь квадратный корень из больших чисел без калькулятора.
Я заинтересовался и решил изучить этот вопрос глубже, чем он изложен в школьной программе, а также приготовить мини-книжечку с наиболее простыми способами извлечения квадратных корней из больших чисел без калькулятора.
Цель работы: найти и показать те способы извлечения квадратных корней, которыми можно будет воспользоваться, не имея под рукой калькулятора.
Задачи:
- Изучить литературу по данному вопросу.
- Рассмотреть особенности каждого найденного способа и его алгоритм.
- Показать практическое применение полученных знаний и оценить
Степень сложности в использовании различных способов и алгоритмов.
- Создать мини-книжечку по самым интересным алгоритмам.
Объект исследования: математические символы – квадратные корни.
Предмет исследования: особенности способов извлечения квадратных корней без калькулятора.
Методы исследования:
- Поиск способов и алгоритмов извлечения квадратных корней из больших чисел без калькулятора.
- Сравнение найденных способов.
- Анализ полученных способов.
Все знают, что извлечь квадратный корень без калькулятора - это очень сложная
задача. Когда нет под рукой калькулятора, то начинаем методом подбора стараться вспомнить данные из таблицы квадратов целых чисел, но это не всегда помогает. Например, таблица квадратов целых чисел не даёт ответ на такие вопросы, как, например, извлечь корень из 75, 37,885,108,18061 и другие даже приблизительно.
Также часто на экзаменах ОГЭ и ЕГЭ пользование калькулятором запрещено и нет
таблицы квадратов целых чисел, а надо извлечь корень из 3136 или 7056 и т.д.
Но изучая литературу по данной теме, я узнал, что извлекать корни из таких чисел
возможно и без таблицы и калькулятора, люди научились задолго до изобретения микрокалькулятора. Исследуя эту тему, я нашел несколько способов решения данной проблемы.
Глава 1. Способ разложения на простые множители
Для извлечения квадратного корня можно разложить число на простые множители и извлечь квадратный корень из произведения.
Таким способом принято пользоваться при решении заданий с корнями в школе.
3136│2 7056│2
1568│2 3528│2
784│2 1764│2
392│2 882│2
196│2 441│3
98│2 147│3
49│7 49│7
7│7 7│7
√3136 = √2²∙2²∙2²∙7² = 2∙2∙2∙7 = 56 √3136 = √2²∙2²∙3²∙7² = 2∙2∙3∙7 = 84
Многие применяют его успешно и считают единственным. Извлечение корня разложением на множители - трудоёмкая задача, которая тоже не всегда приводит к желаемому результату. Попробуйте извлечь квадратный корень из числа 209764? Разложение на простые множители дает произведение 2∙2∙52441. А как быть дальше? С этой задачей сталкиваются все, и спокойно в ответе записывают остаток от разложения под знак корня. Методом проб и ошибок, подбором разложение, конечно, можно сделать, если быть уверенным в том, что получится красивый ответ, но практика показывает, что очень редко предлагаются задания с полным разложением. Чаще мы видим, что корень до конца не извлечь.
Поэтому, этот способ лишь частично решает проблему извлечения без калькулятора.
Глава 2. Извлечение квадратного корня уголком
Для извлечения квадратного корня уголком и
рассмотрим алгоритм:
1-й шаг. Число 8649 разбиваем на грани справа налево; каждая из которых должна содержать две цифры. Получаем две грани:
.
2-й шаг. Извлекаем квадратный корень из первой грани 86, получаем
с недостатком. Цифра 9 –это первая цифра корня.
3-й шаг. Число 9 возводим в квадрат (9
2
= 81) и число 81 вычитаем из первой грани, получаем 86- 81=5. Число 5 – первый остаток.
4-й шаг. К остатку 5 приписываем вторую грань 49, получаем число 549.
5-й шаг . Удваиваем первую цифру корня 9 и, записывая слева, получаем-18
К числу нужно приписать такую наибольшую цифру, чтобы произведение числа, которое мы получим, на эту цифру было бы либо равно числу 549, либо меньше, чем 549. Это цифра 3. Она находится путем подбора: количество десятков числа 549, то есть число 54 делится на 18, получаем 3, так как 183 ∙ 3 = 549. Цифра 3 – это вторая цифра корня.
6-й шаг. Находим остаток 549 – 549 = 0. Так как остаток равен нулю, то мы получили точное значение корня – 93.
Пприведу еще пример: извлечь √212521
Шаги алгоритма | Пример | Комментарии |
|
Разбить число на группы по 2 цифры в каждой справа налево | 21’ 25’ 21 | Общее число образовавшихся групп определяет количество цифр в ответе |
|
Для первой группы цифр подобрать цифру, квадрат которой будет наибольшим, но не превосходящим числа первой группы | 1 группа – 21 4 2 =16 цифра - 4 | Найденная цифра записывается в ответе на первом месте |
|
Из первой группы цифр вычесть найденный на шаге 2 квадрат первой цифры ответа | 21’ 25’ 21 | ||
К остатку, найденному на шаге 3, приписать справа (снести) вторую группу цифр | 21’ 25’ 21 16__ | ||
К удвоенной первой цифре ответа приписать справа такую цифру, чтобы произведение полученного в результате числа на эту цифру было наибольшим, но не превосходила числа, найденного на шаге 4 | 4*2=8 цифра – 6 86*6=516 | Найденная цифра записывается в ответе на втором месте |
|
Из числа, полученного на шаге 4 вычесть число, полученное на шаге 5. Снести к остатку третью группу | 21’ 25’ 21 | ||
К удвоенному числу, состоящему из первых двух цифр ответа, приписать справа такую цифру, чтобы произведение полученного в результате числа на эту цифру был наибольшим, но не превосходило числа, полученного на шаге 6 | 46*2=92 цифра 1 921*1=921 | Найденная цифра записывается в ответе на третьем месте |
|
Записать ответ | √212521=461 |
Глава 3. Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел
Про этот способ я узнал из Интернета. Способ очень простой и даёт мгновенное извлечение квадратного корня из любых целых чисел от 1 до 100 с точностью до десятых без калькулятора. Одно условие для этого метода – наличие таблицы квадратов чисел до 99.
(Она есть во всех учебниках алгебры 8 класса, и на экзамене ОГЭ предлагается в качестве справочного материала.)
Откройте таблицу и проверьте скорость нахождения ответа. Но сначала несколько рекомендаций: самый левый столбик – это будут в ответе целые, самая верхняя строчка – это десятые в ответе. А дальше всё просто: закройте две последние цифры числа в таблице и найдите нужное вам, не превосходящее подкоренное число, и далее действуйте по правилам этой таблицы.
Рассмотрим на примере. Найдём значение √87.
Закрываем две последние цифры у всех чисел в таблице и находим близкие для 87 – таких только два 86 49 и 88 37. Но 88 – это уже много.
Значит, остаётся только одно – 8649.
Левый столбик даёт ответ 9 (это целых), а верхняя строчка 3 (это десятых). Значит √87≈ 9,3. Проверим на МК √87 ≈ 9,327379.
Быстро, просто, доступно на экзамене. Но сразу понятно, что корни, большие 100 уже этим способом извлечь невозможно. Способ удобен для заданий с маленькими корнями и при наличии таблицы.
Глава 4. Формула Древнего Вавилона
Древние вавилоняне пользовались следующим способом нахождения приближенного значения квадратного корня их числа х. Число х они представляли в виде суммы а 2 +b, где а 2 ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а (а 2 . (1)
Извлечем с помощью формулы (1) корень квадратный, например из числа 28:
Результат извлечения корня из 28 с помощью МК 5,2915026.
Как видим способ вавилонян дает хорошее приближение к точному значению корня.
Глава 5. Способ отбрасывания полного квадрата
(только у четырехзначных чисел)
Сразу стоит уточнить, что этот способ применим только для извлечения квадратного корня из точного квадрата, а алгоритм нахождения зависит от величины подкоренного числа.
- Извлечение корней до числа 75 2 = 5625
Например: √¯3844 = √¯ 37 00 + 144 = 37 + 25 = 62.
Число 3844 представим в виде суммы, выделив из этого числа квадрат 144, затем выделенный квадрат отбрасываем, к числу сотен первого слагаемого (37) прибавляем всегда 25 . Получим ответ 62.
Так можно извлекать только квадратные корни до числа 75 2 =5625!
2) Извлечение корней после числа 75 2 = 5625
Как же устно извлечь квадратные корни из чисел больше 75 2 =5625?
Например: √7225 = √ 70 00 + 225 = 70 + √225 = 70 + 15 = 85.
Поясним,7225 представим в виде суммы 7000 и выделенного квадрата 225. Затем к числу сотен прибавить квадратный корень из 225, равный 15.
Получим ответ 85.
Этот способ нахождения очень интересен и в какой – то мере оригинален, но в ходе моего исследования встретился только один раз в работе пермского преподавател.
Возможно, он мало изучен или имеет какие – то исключения.
Он достаточно сложен в запоминании из – за двойственности алгоритма и применим только для четырёхзначных чисел точных корней, но я проработал множество примеров и убедился в его правильности. Кроме всего этот способ доступен тем, кто уже запомнил наизусть квадраты чисел от 11 до 29, ведь без их знания он будет бесполезен.
Глава 6. Канадский метод
√ X = √ S + (X - S) / (2 √ S), гдеX - число, из которого необходимо извлечь квадратный корень, а S - число ближайшего точного квадрата.
Давайте попробуем извлечь квадратный корень из 75
√ 75 = 9 + (- 6/18) = 9 - 0,333 = 8,667
При детальном изучении этого метода легко можно доказать его сходство с вавилонским и поспорить за авторские права изобретения этой формулы, если такие есть в действительности. Метод несложный и удобный.
Глава 7. Метод подбора угадыванием
Этот метод предлагают английские студенты математического колледжа Лондона, но каждый в своей жизни хоть раз непроизвольно пользовался этим методом. Он основан на подборе разных значений квадратов близких чисел путём сужения области поиска. Овладеть этим способом может каждый, но вот пользоваться вряд ли, потому что он требует многократного вычисления произведения столбиком не всегда правильно угаданных чисел. Этот способ проигрывает и в красоте решения, и по времени. Алгоритм прост:
Предположим, вы хотите извлечь квадратный корень из 75.
Так как 8 2 = 64 и 9 2 = 81, вы знаете, ответ находится где-то между ними.
Попробуйте возвести 8,5 2 и вы получите 72,25 (слишком мало)
Теперь попробуйте 8,6 2 и вы получите 73,96 (слишком небольшой, но все ближе)
Теперь попробуйте 8,7 2 и вы получите 75,69 (слишком большая)
Теперь вы знаете, ответ находится между 8,6 и 8,7
Попробуйте возвести 8,65 2 и вы получите 74,8225 (слишком мало)
Теперь попробуйте 8,66 2 ... и так далее.
Продолжайте, пока не получите ответ достаточно точный для вас.
Глава 8. Метод вычетов нечётного числа
Многие знают метод извлечения квадратного корня разложением числа на простые множители. В своей работе представлю ещё один способ, с помощью которого можно узнать целую часть квадратного корня числа. Способ очень простой. Заметим, что для квадратов чисел верны следующие равенства:
1=1 2
1+3=2 2
1+3+5=3 2
1+3+5+7=4 2 и т.д.
Правило: узнать целую часть квадратного корня числа можно вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, и сочтя количество выполненных действий.
Например, чтобы получить квадратный корень из 36 и 121 это:
Общее количество вычитаний = 6, поэтому квадратный корень из 36 = 6.
Общее количество вычитаний = 11, поэтому √121 = 11.
Еще пример: найдём √529
Решение: 1)_529
2)_528
3)_525
4)_520
5)_513
6)_504
7)_493
8)_480
9)_465
10)_448
11)_429
12)_408
13)_385
14)_360
15)_333
16)_304
17)_273
18)_240
19)_205
20)_168
21)_129
22)_88
23)_45
Ответ: √529 = 23
Ученые называют этот метод арифметическим извлечением квадратного корня, а за глаза «методом черепахи» из-за его медлительности.
Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень не является целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не точнее. В то же время такой способ вполне доступен детям, решающим простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного корня. Попробуйте извлечь квадратный корень из числа, например, 5963364 этим способом и вы поймёте, что он «работает», безусловно, без погрешностей для точных корней, но очень - очень длинный в решёнии.
Заключение
Описанные в работе методы извлечения корней встречаются во многих источниках. Тем не менее, разобраться в них оказалось для меня непростой задачей, что вызвало немалый интерес. Представленные алгоритмы позволят всем, кто заинтересуется данной темой, быстрее овладеть навыками вычисления квадратного корня, их можно использовать при проверке своего решения и не зависеть от калькулятора.
В результате проведённого исследования я пришел к выводу: различные способы извлечения квадратного корня без калькулятора необходимы в школьном курсе математики, чтобы развивать навыки вычислений.
Теоретическая значимость исследования – систематизированы основные методы извлечения квадратных корней.
Практическая значимость: в создании мини-книжечки, содержащей опорную схему извлечения квадратных корней различными способами (Приложение1).
Литература и сайты Интернета:
- И.Н. Сергеев, С.Н. Олехник, С.Б.Гашков «Примени математику». – М.: Наука, 1990
- Керимов З., «Как найти целый корень?» Научно-популярный физико-математический журнал "Квант" №2, 1980
- Петраков И.С. «математические кружки в 8-10 классах»; Книга для учителя.
–М.:Просвещение,1987
- Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. «Рассказы о прикладной математики».- М.: Наука. Главная редакция физико- математической литературы, 1979
- Ткачева М.В. Домашняя математика. Книга для учащихся 8 класса учебных заведений. – Москва, Просвещение, 1994г.
- Жохов В.И., Погодин В.Н. Справочные таблицы по математике.-М.: ООО «Издательство «РОСМЭН-ПРЕСС», 2004.-120 с.
- http://translate.google.ru/translate
- http://www.murderousmaths.co.uk/books/sqroot.htm
- http://ru.wikipedia.ord /wiki /teorema/
Добрый день, уважаемые гости!
Меня зовут Лев Соколов, я учусь в 8 классе в вечерней школе.
Представляю вашему вниманию работу на тему: « Извлечение квадратных корней из больших чисел без калькулятора».
При изучении темы квадратные корни в этом учебном году, меня заинтересовал вопрос, как можно извлечь квадратный корень из больших чисел без калькулятора и я решил изучить его глубже, так как на следующий год мне предстоит сдавать экзамен по математике.
Цель моей работы: найти и показать способы извлечения квадратных корней без калькулятора
Для достижения цели я решал следующие задачи:
1. Изучить литературу по данному вопросу.
2. Рассмотреть особенности каждого найденного способа и его алгоритм.
3. Показать практическое применение полученных знаний и оценить степень сложности в использовании различных способов и алгоритмов.
4.Создать мини-книжечку по самым интересным алгоритмам.
Объектом моего исследования стали квадратные корни.
Предмет исследования: способы извлечения квадратных корней без калькулятора.
Методы исследования:
1. Поиск способов и алгоритмов извлечения квадратных корней из больших чисел без калькулятора.
2. Сравнение и анализ найденных способов.
Я нашел и изучил 8 способов извлечения квадратных корней без калькулятора и отработал их на практике. Название найденных способов приведены на слайде.
Я остановлюсь на тех из них, которые мне понравились.
Покажу на примере, как можно способом разложения на простые множители извлечь квадратный корень из числа 3025.
Основной недостаток этого способа - он занимает много времени.
С помощью формулы Древнего Вавилона я извлеку квадратный корень из этого же числа 3025.
Способ удобен только для малых чисел.
Из этого же числа 3025 извлекаем квадратный корень уголком.
На мой взгляд, это самый универсальный способ, он применим к любым числам.
В современной науке известно много способов извлечения квадратного корня без калькулятора, но я изучил не все.
Практическая значимость моей работы: в создании мини-книжечки, содержащей опорную схему извлечения квадратных корней различными способами.
Результаты моей работы могут успешно применяться на уроках математики, физики и других предметах, где требуется извлечение корней без калькулятора.
Спасибо за внимание!
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Извлечение квадратных корней из больших чисел без калькулятора Исполнитель: Лев Соколов, МКОУ « Тугулымская В(С)ОШ»,8 класс Руководитель: Сидорова Татьяна Николаевна I категория, учитель математики р.п. Тугулым
Правильному применению методов можно научиться, применяя и на разнообразных примерах. Г. Цейтен Цель работы: найти и показать те способы извлечения квадратных корней, которыми можно будет воспользоваться, не имея под рукой калькулятора. Задачи: - Изучить литературу по данному вопросу. - Рассмотреть особенности каждого найденного способа и его алгоритм. - Показать практическое применение полученных знаний и оценить степень сложности в использовании различных способов и алгоритмов. - Создать мини-книжечку по самым интересным алгоритмам.
Объект исследования: квадратные корни Предмет исследования: способы извлечения квадратных корней без калькулятора. Методы исследования: Поиск способов и алгоритмов извлечения квадратных корней из больших чисел без калькулятора. Сравнение найденных способов. Анализ полученных способов.
Способы извлечения квадратного корня: 1. Способ разложения на простые множители 2. Извлечение квадратного корня уголком 3. Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел 4. Формула Древнего Вавилона 5. Способ отбрасывания полного квадрата 6. Канадский метод 7. Метод подбора угадыванием 8. Метод вычетов нечётного числа
Способ разложения на простые множители Для извлечения квадратного корня можно разложить число на простые множители и извлечь квадратный корень из произведения. 3136│2 7056│2 209764│2 1568│2 3528│2 104882│2 784│2 1764│2 52441│229 392│2 882│2 229│229 196│2 441│3 98│2 147│3 √209764 = √2∙2∙52441 = 49│7 49│7 = √2²∙229² = 458. 7│7 7│7 √3136 = √ 2²∙2²∙2²∙7² = 2∙2∙2∙7 = 56. √7056 = √2²∙2²∙3²∙7² = 2∙2∙3∙7 = 84. Не всегда легко можно разложить, чаще до конца не извлекается, занимает много времени.
Формула Древнего Вавилона (Вавилонский метод) Алгоритм извлечения квадратного корня древневавилонским способом. 1 . Представить число с в виде суммы а ² + b , где а ² ближайший к числу с точный квадрат натурального числа а (а ² ≈ с); 2. Приближенное значение корня вычисляется по формуле: Результат извлечения корня с помощью калькулятора равен 5,292.
Извлечение квадратного корня уголком Способ почти универсальный, так как применим к любым числам, но составление ребуса (угадывание цифры на конце числа) требует логики и хороших вычислительных навыков столбиком.
Алгоритм извлечения квадратного корня уголком 1. Разбиваем число (5963364) на пары справа налево (5`96`33`64) 2. Извлекаем квадратный корень из первой слева группы (- число 2). Так мы получаем первую цифру числа. 3. Находим квадрат первой цифры (2 2 =4). 4. Находим разность первой группы и квадрата первой цифры (5-4=1). 5.Сносим следующие две цифры (получили число 196). 6. Удваиваем первую, найденную нами цифру, записываем слева за чертой (2*2=4). 7.Теперь необходимо найти вторую цифру числа: удвоенная первая цифра, найденная нами, становится цифрой десятков числа, при умножении которого на число единиц, необходимо получить число меньшее 196 (это цифра 4, 44*4=176). 4 - вторая цифра числа &. 8. Находим разность (196-176=20). 9. Сносим следующую группу (получаем число 2033). 10. Удваиваем число 24, получаем 48. 11. 48 десятков в числе, при умножении которого на число единиц, мы должны получить число меньшее 2033 (484*4=1936). Найденная нами цифра единиц (4) и есть третья цифра числа. Далее процесс повторяется.
Метод вычетов нечётного числа (арифметический способ) Алгоритм извлечения квадратного корня: Вычитать нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю. Подсчитать количество выполненных действий – это число есть целаячасть числа извлекаемого квадратного корня. Пример 1: вычислить 1. 9 − 1 = 8; 8 − 3 = 5; 5 − 5 = 0. 2. Выполнено 3 действия
36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9 = 11 - 11 = 0 общее количество вычитаний = 6, поэтому квадратный корень из 36 = 6. 121 – 1 = 120 - 3 = 117- 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 - 11 = 85 – 13 = 72 - 15 = 57 – 17 = 40 - 19 = 21 - 21 = 0 Общее количество вычитаний = 11, поэтому квадратный корень из 121 = 11. 5963364 = ??? Российские учёные «за глаза» называют его «методом черепахи» из-за его медлительности. Он неудобен для больших чисел.
Теоретическая значимость исследования – систематизированы основные методы извлечения квадратных корней. Практическая значимость: в создании мини-книжечки, содержащей опорную схему извлечения квадратных корней различными способами.
Спасибо за внимание!
Предварительный просмотр:
При решении некоторых задач потребуется извлечь квадратный корень из крупного числа. Как это сделать?
Метод вычетов нечётного числа.
Способ очень простой. Заметим, что для квадратов чисел верны следующие равенства:
1=1 2
1+3=2 2
1+3+5=3 2
1+3+5+7=4 2 и т.д.
Правило: узнать целую часть квадратного корня числа можно вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, и сочтя количество выполненных действий.
Например, чтобы получить квадратный корень из 36 и 121 это:
36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9 = 11 - 11 = 0
Общее количество вычитаний = 6, поэтому квадратный корень из 36 = 6.
121 - 1 = 120 - 3 = 117- 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 - 11 = 85 – 13 = 72 - 15 = 57 – 17 = 40 - 19 = 21 - 21 = 0
Общее количество вычитаний = 11, поэтому √121 = 11.
Канадский метод.
Этот быстрый метод был открыт молодыми учёными одного из ведущих университетов Канады в 20 веке. Его точность – не более двух – трёх знаков после запятой. Вот их формула:
√ X = √ S + (X - S) / (2 √ S), где X - число, из которого необходимо извлечь квадратный корень, а S - число ближайшего точного квадрата.
Пример. Извлечь квадратный корень из 75.
X = 75, S = 81. Это означает, что √ S = 9.
Просчитаем по этой формуле √75: √ 75 = 9 + (75 - 81) / (2∙ 9)
√ 75 = 9 + (- 6/18) = 9 - 0,333 =
8,667
Способ извлечения квадратного корня уголком.
1. Разбиваем число (5963364) на пары справа налево (5`96`33`64)
2. Извлекаем квадратный корень из первой слева группы ( - число 2). Так мы получаем первую цифру числа.
3. Находим квадрат первой цифры (2 2 =4).
4. Находим разность первой группы и квадрата первой цифры (5-4=1).
5.Сносим следующие две цифры (получили число 196).
6. Удваиваем первую, найденную нами цифру, записываем слева за чертой (2*2=4).
7.Теперь необходимо найти вторую цифру числа: удвоенная первая цифра, найденная нами, становится цифрой десятков числа, при умножении которого на число единиц, необходимо получить число меньшее 196 (это цифра 4, 44*4=176). 4 - вторая цифра числа &.
8. Находим разность (196-176=20).
9. Сносим следующую группу (получаем число 2033).
10. Удваиваем число 24, получаем 48.
11.48 десятков в числе, при умножении которого на число единиц, мы должны получить число меньшее 2033 (484*4=1936). Найденная нами цифра единиц (4) и есть третья цифра числа.
Действие извлечения корня квадратного обратно действию возведения в квадрат.
√81= 9 9 2 =81.
Метод подбора.
Пример: Извлечь корень из числа 676 .
Замечаем, что 20 2 = 400, а 30 2 = 900, значит 20
Точные квадраты натуральных чисел оканчиваются цифрами 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Цифру 6 дают 4
2
и 6
2
.
Значит, если из 676 извлекается корень, то это либо 24, либо 26.
Осталось проверить: 24 2 = 576, 26 2 = 676.
Ответ: √ 676 = 26.
Еще пример: √6889 .
Так как 80 2 = 6400, а 90 2 = 8100, то 80 Цифру 9 дают 3 2 и 7 2 , то √6889 равен либо 83, либо 87.
Проверяем: 83 2 = 6889.
Ответ: √6889 = 83 .
Если затрудняетесь решать методом подбора, то можно подкоренное выражение разложить на множители.
Например, найти √893025 .
Разложим число 893025 на множители, вспомните, вы делали это в шестом классе.
Получаем: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.
Вавилонский метод.
Шаг №1. Представить число х в виде суммы: х=а 2 + b, где а 2 ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а.
Шаг №2. Использовать формулу:
Пример. Вычислить .
Арифметический метод.
Вычитаем из числа все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю. Подсчитав количество выполненных действий, определяем, целую часть квадратного корня из числа.
Пример. Вычислить целую часть числа .
Решение. 12 - 1 = 11; 11 - 3 = 8; 8 - 5 = 3; 3 3 - целая часть числа . Итак, .
Метод (известный как метод Ньютона) заключается в следующем.
Пусть а 1 - первое приближение числа (в качестве а 1 можно брать значения квадратного корня из натурального числа - точного квадрата, не превосходящего .
Указанный способ позволяет извлекать квадратный корень из большого числа с любой точностью, правда с существенным недостатком: громоздкость вычислений.
Метод оценки.
Шаг №1. Выяснить диапазон, в котором лежит исходный корень (100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000).
Шаг №2 . По последней цифре определить на какую цифру заканчивается искомое число.
Цифра единиц числа х | ||||||||||
Цифра единиц числа х 2 |
Шаг №3. Возвести в квадрат предполагаемые числа и определить из них искомое число.
Пример 1. Вычислить .
Решение. 2500 50 2 2 50
= *2 или = *8.
52
2
= (50 +2)
2
= 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;
58
2
= (60 − 2)
2
= 3600 − 2 · 60 · 2 + 4 = 3364.
Следовательно, = 58.
А у вас есть зависимость от калькулятора ? Или вы считаете, что кроме как с калькулятором или при помощи таблицы квадратов очень сложно вычислить, например, .
Случается, школьники привязаны к калькулятору и даже 0,7 на 0,5 умножают, нажимая на заветные кнопочки. Говорят, ну я все равно знаю как посчитать, а сейчас сэкономлю время… Вот будет экзамен… тогда и напрягусь…
Так дело в том, что на экзамене и так будет предостаточно «напряжных моментов»… Как говорится, вода камень точит. Вот и на экзамене мелочи, если их много, способны подкосить…
Давайте минимизируем количество возможных неприятностей.
Извлекаем квадратный корень из большого числа
Мы будем говорить сейчас только о случае, когда результат извлечения корня квадратного – целое число.
Случай 1.
Итак, пусть нам во что-бы то ни стало (например, при вычислении дискриминанта) нужно вычислить корень квадратный из 86436.
Мы будем раскладывать число 86436 на простые множители. Делим на 2, – получаем 43218; снова делим на 2, – получаем 21609. На 2 больше нацело число не делится. Но так как сумма цифр делится на 3, то и само число делится на 3 (вообще говоря, видно, что оно и на 9 делится). . Еще раз делим на 3, – получаем 2401. 2401 на 3 нацело не делится. На пять не делится (не оканчивается цифрой 0 или 5).
Подозреваем делимость на 7. Действительно, а ,
Итак, Полный порядок!
Случай 2.
Пусть нам нужно вычислить . Действовать так же, как описано выше, неудобно. Пытаемся разложить на простые множители…
На 2 число 1849 нацело не делится (не является четным)…
На 3 нацело не делится (сумма цифр не кратна 3)…
На 5 нацело не делится (последняя цифра – не 5 и не 0)…
На 7 нацело не делится, на 11 не делится, на 13 не делится… Ну и долго нам так перебирать все простые числа?
Будем рассуждать несколько иначе.
Мы понимаем, что
Мы сузили круг поиска. Теперь перебираем числа от 41 до 49. Причем ясно, что раз последняя цифра числа – 9, то останавливаться стоит на вариантах 43 или 47, – только эти числа при возведении в квадрат дадут последнюю цифру 9.
Ну и тут уже, конечно, мы останавливаемся на 43. Действительно,
P.S. А как, ксатати, мы умножаем 0,7 на 0,5?
Следует умножить 5 на 7, не обращая внимание на нули и знаки, а потом отделить, идя справа налево, два знака запятой. Получаем 0,35.
Рассмотрим этот алгоритм на примере. Найдем
1-й шаг. Число под корнем разбиваем на грани по две цифры (справа налево):
2-й шаг. Извлекаем квадратный корень из первой грани, т. е. из числа 65, получаем число 8. Под первой гранью пишем квадрат числа 8 и вычитаем. К остатку приписываем вторую грань (59):
(число 159 - первый остаток).
3-й шаг. Удваиваем найденный корень и пишем результат слева:
4-й шаг. Отделяем в остатке (159) одну цифру справа, слева получаем число десятков (оно равно 15). Затем делим 15 на удвоенную первую цифру корня, т. е. на 16, так как 15 на 16 не делится, то в частном получается нуль, который записываем как вторую цифру корня. Итак, в частном получили число 80, которое опять удваиваем, и сносим следующую грань
(число 15 901 - второй остаток).
5-й шаг. Отделяем во втором остатке одну цифру справа и полученное число 1590 делим на 160. Результат (цифру 9) записываем как третью цифру корня и приписываем к числу 160. Полученное число 1609 умножаем на 9 и находим следующий остаток (1420):
В дальнейшем действия выполняются в той последовательности, которая указана в алгоритме (корень можно извлекать с нужной степенью точности).
Замечание. Если подкоренное выражение - десятичная - дробь, то ее целую часть разбивают на грани по две цифры справа налево, дробную часть - по две цифры слева направо и извлекают корень по указанному алгоритму.
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
1. Извлеките квадратный корень из числа: а) 32; б) 32,45; в) 249,5; г) 0,9511.
Инструкция
Подберите подкоренному числу такой множитель, вынесение которого из под корня действительно выражение - иначе операция потеряет . Например, если под знаком корня с показателем, равным трем (кубический корень), стоит число 128, то из под знака можно вынести, например, число 5. При этом подкоренное число 128 придется разделить на 5 в кубе: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1.024. Если наличие дробного числа под знаком корня не противоречит условиям задачи, то можно в таком виде. Если же нужен более простой вариант, то сначала разбейте подкоренное выражение на такие целочисленные множители, кубический корень одного из которых будет являться целым число м. Например: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.
Используйте для подбора множителей подкоренного числа , если вычислять в уме степени числа не представляется возможным. Особенно это актуально к корня м с показателем степени больше двух. Если есть доступ в интернет, то можно производить вычисления встроенными в поисковые системы Google и Nigma вычислителями. Например, если надо найти наибольший целочисленный множитель, который можно вынести из под знака кубического корня для числа 250, то перейдя на сайт Google введите запрос «6^3», чтобы проверить, нельзя ли вынести из под знака корня шестерку. Поисковик покажет результат, равный 216. Увы, 250 нельзя разделить без остатка на это число . Тогда введите запрос 5^3. Результатом будет 125, а это позволяет разбить 250 на множители 125 и 2, а значит вынести из под знака корня число 5, оставив там число 2.
Источники:
- как вынести из под корня
- Квадратный корень из произведения
Вынести из-под корня один из сомножителей необходимо в ситуациях, когда нужно упростить математическое выражение. Бывают случаи, когда выполнить нужные вычисления с помощью калькулятора невозможно. Например, если вместо чисел используются буквенные обозначения переменных.
Инструкция
Разложите подкоренное выражение на простые сомножители. Посмотрите, какой из сомножителей повторяется столько же раз, указано в показателей корня , или больше. Например, вам нужно извлечь корень из числа а в четвертой степени. В этом случае число можно представить как а*а*а*а = а*(а*а*а)=а*а3. Показателю корня в этом случае будет соответствовать сомножитель а3. Его и нужно вынести за знак .
Извлеките корень получившихся подкоренных в отдельности там, где это возможно. Извлечение корня представляет собой алгебраическое действие, обратное возведению в степень. Извлечение корня произвольной степени из числа найти такое число, которое при возведении его в эту произвольную степень даст в результате данное число. Если извлечение корня произвести нельзя, оставьте подкоренное выражение под знаком корня так, как оно есть. В результате проведения перечисленных действий вы произведете вынесение из-под знака корня .
Видео по теме
Обратите внимание
Будьте внимательны при записи подкоренного выражения в виде сомножителей – ошибка на этом этапе приведёт к неправильным результатам.
При извлечении корней удобно пользоваться специальными таблицами или таблицами логарифмических корней – этим вы значительно сократите время на нахождение правильного решения.
Источники:
- знак извлечения корня в 2019
Упрощение алгебраических выражений требуется во многих разделах математики, в том числе при решении уравнений высших степеней, дифференцировании и интегрировании. При этом используется несколько методов, включая разложение на множители. Чтобы применить этот способ, нужно найти и вынести общий множитель за скобки .
Инструкция
Вынесение общего множителя за скобки – один из самых распространенных способов разложения . Этот прием применяется для упрощения структуры длинных алгебраических выражений, т.е. многочленов. Общим может быть число, одночлен или двучлен, а для его поиска применяется распределительное свойство умножения.
Число.Посмотрите внимательно на коэффициенты при каждом многочлена, можно ли разделить их на одно и то же число. Например, в выражении 12 z³ + 16 z² – 4 очевидным является множитель 4. После преобразования получится 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Иными , это число является наименьшим общим целочисленным делителем всех коэффициентов.
Одночлен.Определите, ли одна и та же переменная в каждый из слагаемых многочлена. Предположим, что это так, теперь посмотрите на коэффициенты, как в предыдущем случае. Пример: 9 z^4 – 6 z³ + 15 z² – 3 z.
Каждый элемент этого многочлена содержит переменную z. Кроме того, все коэффициенты – числа, кратные 3. Следовательно, общим множителем будет одночлен 3 z:3 z (3 z³ – 2 z² + 5 z - 1).
Двучлен.За скобки общий множитель из двух , переменной и числа, которое является общего многочлена. Поэтому, если множитель -двучлен неочевиден, то нужно найти хотя бы один корень. Выделите свободный член многочлена, это коэффициент без переменной. Теперь примените метод подстановки в общее выражение всех целочисленных делителей свободного члена.
Рассмотрите : z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Проверьте, не является ли какой-либо из целых делителей числа 4 z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0. Путем простой подстановки найдите z1 = 1 и z2 = 2, значит, за скобки можно вынести двучлены (z - 1) и (z - 2). Для того, чтобы найти оставшееся выражение, воспользуйтесь последовательным делением в столбик.
