Формулы сокращения многочленов. Калькулятор онлайн.Упрощение многочлена.Умножение многочленов
Ключевые слова:
квадрат суммы, квадрат разности, куб суммы, куб разности, разность квадратов, сумма кубов, разность кубов
- Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.величины (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2
- Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов . (a+b)(a-b)=a 2 -b 2
- К
уб суммы
двух величин равен кубу
первой величины плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую
плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй.
(a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3
- К
уб разности
двух величин равен кубу первой
минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное
произведение первой на квадрат второй минус куб второй.
(a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3
- Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов . (a+b)(a 2 -ab+b 2)=a 3 +b 3
- Произведение разности двух величин на неполный
квадрат суммы равно разности
их кубов.
(a - b)(a 2 +ab+b 2)=a 3 - b 3
Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй величины. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2
Очень часто приведение многочлена к стандартному виду можно осуществить путём применения формул сокращённого умножения. Все они доказываются непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых. Формулы сокращённого умножения нужно знать наизусть:
Пример . Докажем формулу a 3 +b 3 = (a + b )(a 2 – ab + b 2).
Имеем: (a + b )(a 2 – ab + b 2) = a 3 – a 2 b + ab 2 + ba 2 – ab 2 – b 3
Приводя подобные слагаемые, мы видим, что
(a + b )(a 2 – ab + b 2) = a 3 +b 3 , что и доказывает нужную формулу.
Аналогично доказывается, что (a - b )(a 2 + ab + b 2) = a 3 – b 3Мало просто знать наизусть формулы сокращенного умножения. Надо еще научиться видеть в конкретном алгебраическом выражении эту формулу.
Например:
49m 2 – 42mn + 9n 2 = (7m – 3n) 2
Или другой пример, посложнее:
Тут 3x 2 можно представить как ( √ 3x) 2Полезно еще и знать, как возводить двучлен в степень большую, чем 3. Формула, позволяющая выписывать разложение алгебраической суммы двух слагаемых произвольной степени, впервые была предложена Ньютоном в 1664–1665 г. и получила название бинома Ньютона. Коэффициенты формулы называются биномиальными коэффициентами. Если n – положительное целое число, то коэффициенты обращаются в нуль при любом k > n, поэтому разложение содержит лишь конечное число членов. Во всех остальных случаях разложение представляет собой бесконечный (биномиальный) ряд. (Условия сходимости биномиального ряда впервые были установлены в начале 19 в. Н.Абелем.) Такие частные случаи, как
(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 и (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 + b 3были известны задолго до Ньютона. Если n – положительное целое число, то биномиальный коэффициент при a n-k b k в формуле бинома есть число комбинаций из n по k , обозначаемое C k n . При небольших значениях n коэффициенты можно найти из треугольника Паскаля :
Формулы или правила сокращенного умножения используются в арифметике, а точнее - в алгебре, для более быстрого процесса вычисления больших алгебраических выражений. Сами же формулы получены из существующих в алгебре правил для умножения нескольких многочленов.
Использование данных формул обеспечивает достаточно оперативное решение различных математических задач, а также помогает осуществлять упрощение выражений. Правила алгебраических преобразований позволяют выполнять некоторые манипуляции с выражениями, следуя которым можно получить в левой части равенства выражение, стоящее в правой части, или преобразовать правую часть равенства (чтобы получить выражение, стоящее в левой части после знака равенства).
Удобно знать формулы, применяемые для сокращенного умножения, на память, так как они нередко используются при решении задач и уравнений. Ниже перечислены основные формулы, входящие в данный список, и их наименование.
Квадрат суммы
Чтобы вычислить квадрат суммы, необходимо найти сумму, состоящую из квадрата первого слагаемого, удвоенного произведения первого слагаемого на второе и квадрата второго. В виде выражения данное правило записывается следующим образом: (а + с)² = a² + 2ас + с².
Квадрат разности
Чтобы вычислить квадрат разности, необходимо вычислить сумму, состоящую из квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе (взятое с противоположным знаком) и квадрата второго числа. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а - с)² = а² - 2ас + с².
Разность квадратов
Формула разности двух чисел, возведенных в квадрат, равна произведению суммы этих чисел на их разность. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: a² - с² = (a + с)·(a - с).
Куб суммы
Чтобы вычислить куб суммы двух слагаемых, необходимо вычислить сумму, состоящую из куба первого слагаемого, утроенного произведения квадрата первого слагаемого и второго, утроенного произведения первого слагаемого и второго в квадрате, а также куба второго слагаемого. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а + с)³ = а³ + 3а²с + 3ас² + с³.
Сумма кубов
Согласно формуле, приравнивается к произведению суммы данных слагаемых на их неполный квадрат разности. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: а³ + с³ = (а + с)·(а² - ас + с²).
Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, которая образована сложением двух кубов. Известны лишь величины их сторон.
Если значения сторон небольшие, то выполнить вычисления просто.
Если же длины сторон выражаются в громоздких числах, то в этом случае проще применить формулу "Сумма кубов", которая значительно упростит вычисления.
Куб разности
Выражение для кубической разности звучит так: как сумма третьей степени первого члена, утроенного отрицательного произведения квадрата первого члена на второй, утроенного произведения первого члена на квадрат второго и отрицательного куба второго члена. В виде математического выражения куб разности выглядит следующим образом: (а - с)³ = а³ - 3а²с + 3ас² - с³.
Разность кубов
Формула разности кубов отличается от суммы кубов лишь одним знаком. Таким образом, разность кубов - формула, равная произведению разности данных чисел на их неполный квадрат суммы. В виде математического выражения разность кубов выглядит следующим образом: а 3 - с 3 = (а - с)(а 2 + ас + с 2).
Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, которая останется после вычитания из объема синего куба объемной фигуры желтого цвета, которая также является кубом. Известна лишь величина стороны маленького и большого куба.
Если значения сторон небольшие, то вычисления довольно просты. А если длины сторон выражаются в значительных числах, то стоит применить формулу, озаглавленную "Разность кубов" (или "Куб разности"), которае значительно упростит вычисления.
Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.
Число c является n -ной степенью числа a когда:
Операции со степенями.
1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:
a m ·a n = a m + n .
2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:
3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:
(a/b) n = a n /b n .
5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:
(a m) n = a m n .
Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.
Например . (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4 .
Операции с корнями.
1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:
2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:
3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:
4. Если увеличить степень корня в n раз и в тоже время возвести в n -ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:
5. Если уменьшить степень корня в n раз и в тоже время извлечь корень n -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:
Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:
Формулу a m :a n =a m - n можно использовать не только при m > n , но и при m < n .
Например . a 4:a 7 = a 4 - 7 = a -3 .
Чтобы формула a m :a n =a m - n стала справедливой при m=n , нужно присутствие нулевой степени.
Степень с нулевым показателем. Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.
Например . 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Степень с дробным показателем. Чтобы возвести действительное число а в степень m/n , необходимо извлечь корень n -ой степени из m -ой степени этого числа а .
Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов.
Приведем примеры таких выражений:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.
Например, многочлен
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можно упростить.
Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
Приведем в полученном многочлене подобные члены:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных.
Такие многочлены называют многочленами стандартного вида
.
За степень многочлена стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов. Так, двучлен \(12a^2b - 7b \) имеет третью степень, а трехчлен \(2b^2 -7b + 6 \) - вторую.
Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени.
Например:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.
Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки - это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:
Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.
Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.
Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена
С помощью распределительного свойства умножения можно преобразовать (упростить) в многочлен произведение одночлена и многочлена. Например:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.
Этот результат обычно формулируют в виде правила.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.
Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.
Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов
Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.
Обычно пользуются следующим правилом.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.
Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов
С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) и \(a^2 - b^2 \), т. е. квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например, \((a + b)^2 \) - это, конечно, не просто квадрат суммы, а квадрат суммы а и b. Однако квадрат суммы а и b встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и b в нем оказываются различные, иногда довольно сложные выражения.
Выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с
таким заданием при умножении многочленов:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разность квадратов равна произведению разности на сумму.
Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно - правые части левыми. Самое трудное при этом - увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.
Формулы сокращенного выражения очень часто применяются на практике, так что их все желательно выучить наизусть. До этого момента нам будет служить верой и правдой , которую мы рекомендуем распечатать и все время держать перед глазами:
Первые четыре формулы из составленной таблицы формул сокращенного умножения позволяют возводить в квадрат и куб сумму или разность двух выражений. Пятая предназначена для краткого умножения разности и суммы двух выражений. А шестая и седьмая формулы используются для умножения суммы двух выражений a и b на их неполный квадрат разности (так называют выражение вида a 2 −a·b+b 2 ) и разности двух выражений a и b на неполный квадрат их суммы (a 2 +a·b+b 2 ) соответственно.
Стоит отдельно заметить, что каждое равенство в таблице представляет собой тождество . Этим объясняется, почему формулы сокращенного умножения еще называют тождествами сокращенного умножения.
При решении примеров, особенно в которых имеет место разложение многочлена на множители , ФСУ часто используют в виде с переставленными местами левыми и правыми частями:
Три последних тождества в таблице имеют свои названия. Формула a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b) называется формулой разности квадратов , a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2 ) - формулой суммы кубов , а a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2 ) - формулой разности кубов . Обратите внимание, что соответствующим формулам с переставленными частями из предыдущей таблицы фсу мы никак не назвали.
Дополнительные формулы
В таблицу формул сокращенного умножения не помешает добавить еще несколько тождеств.
Сферы применения формул сокращенного умножения (фсу) и примеры
Основное предназначение формул сокращенного умножения (фсу) объясняется их названием, то есть, оно состоит в кратком умножении выражений. Однако сфера применения ФСУ намного шире, и не ограничивается кратким умножением. Перечислим основные направления.
Несомненно, центральное приложение формулы сокращенного умножения нашли в выполнении тождественных преобразований выражений . Наиболее часто эти формулы используются в процессе упрощения выражений .
Пример.
Упростите выражение 9·y−(1+3·y) 2 .
Решение.
В данном выражении возведение в квадрат можно выполнить сокращенно, имеем 9·y−(1+3·y) 2 =9·y−(1 2 +2·1·3·y+(3·y) 2) . Остается лишь раскрыть скобки и привести подобные члены: 9·y−(1 2 +2·1·3·y+(3·y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2 .
