Числовая координатная прямая. Координатная прямая — Гипермаркет знаний
Координатная прямая.
Возьмем обычную прямую. Назовем ее прямая x (рис.1). Выберем на этой прямой точку отсчета O, а также стрелкой укажем положительное направление этой прямой (рис. 2). Таким образом, справа от точки O у нас будут положительные числа, а слева – отрицательные. Выберем масштаб, то есть размер отрезка прямой, равный единице. У нас получилась координатная прямая (рис. 3). Каждому числу соответствует определенная единственная точка на этой прямой. Причем это число называют координатой этой точки. Поэтому прямая и называется координатной. А точка отсчета O называется началом координат.
К примеру, на рис. 4 точка B находится на расстоянии 2 правее начала координат. Точка D находится на расстоянии 4 левее начала координат. Соответственно точка B имеет координату 2, а точка D координату -4. Сама точка O, будучи точкой отсчета, имеет координату 0 (нуль). Записывается это обычно так: O(0), B(2), D(-4). А чтобы постоянно не говорить «точка D с координатой такой-то», говорят проще: «точка 0, точка 2, точка -4». А саму точку при этом достаточно обозначить ее координатой (рис. 5).
Зная координаты двух точек координатной прямой, мы всегда можем вычислить расстояние между ними. Допустим, у нас две точки A и B с координатами a и b соответственно. Тогда расстояние между ними будет |a - b|. Запись |a - b| читается как «a минус b по модулю» или «модуль разности чисел a и b».
Что такое модуль?
Алгебраически модуль числа x – это неотрицательное число. Обозначается как |x|. Причем если x > 0, то |x| = x. Если x < 0, то |x| = -x. Если x = 0, то |x| = 0.
Геометрически модуль числа x – это расстояние между точкой и началом координат. А если есть две точки с координатами x1 и x2, то |x1 - x2| - это расстояние между этими точками.
Модуль также называют абсолютной величиной .
О чем еще мы можем сказать, когда речь идет о координатной прямой? Конечно о числовых промежутках.
Виды числовых промежутков.
Допустим у нас два числа a и b. Причем b > a (b больше a). На координатной прямой это означает, что точка b находится правее точки a. Заменим в нашем неравенстве b на переменную x. То есть x > a. Тогда x – это все числа, которые больше числа a. На координатной прямой это соответственно все точки правее точки a. Эта часть линии заштрихована (рис. 6). Такое множество точек называют открытым лучом , а данный числовой промежуток обозначают (a; +∞), где знак +∞ читается как «плюс бесконечность». Обратите внимание, что сама точка a не входит в данный промежуток и обозначается светлым кружком.
Рассмотрим также случай, когда x ≥ a. Тогда x – это все числа, которые больше или равны a. На координатной прямой это все точки правее а, а также сама точка a (на рис. 7 точка a уже обозначается темным кружком). Такое множество точек называют замкнутым лучом (или просто лучом), а данный числовой промежуток обозначают .
Координатную прямую также называют координатной осью . Или просто осью x.
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Координатной прямой называют прямую линию с выбранными на ней началом отсчета (ноль), единичным отрезком и направлением. Каждому натуральному числу можно поставить в соответствие единственную точку на координатной прямой.
Для того, чтобы сравнить два числа, расположенных на координатной прямой, необходимо обратить внимание на то, как они расположены друг относительно друга.
Если число a расположено левее числа b , то a < b
Если число a расположено правее числа b , то a > b
В ОГЭ существует несколько типов заданий, связанных с расположением чисел на координатной прямой. Для того, чтобы начать решать примеры, вспомним еще некоторые понятия.
Модуль числа
| a | = { a , a > 0 0 , a = 0 − a , a < 0
Модуль отбирает у чисел знаки.
Если число положительное
Если число равно нулю , то при взятии модуля нуля результат – ноль.
Если число отрицательное , то при взятии модуля этого числа результат – положительное число.
Примеры:
| − 1 | = 1 ; | − 5 | = 5 ; | 7 | = 7 ; | 0 | = 0 .
Наверняка у вас возникает вопрос, почему в формуле раскрытия модуля | a | = − a , если a < 0 ? Ведь после взятия модуля отрицательные числа становятся положительными.
Для ответа на этот вопрос, давайте подумаем, как у отрицательного числа отобрать знак минус? Если отрицательное число домножить на − 1 , то оно станет положительным.
Примеры:
| − 1 | = − (− 1) = 1
Данная статья посвящена разбору таких понятий, как координатный луч и координатная прямая. Мы остановимся на каждом понятии и подробно рассмотрим примеры. Благодаря этой статье вы сможете освежить свои знания или ознакомиться с темой без помощи преподавателя.
Для того, чтобы определить понятие координатного луча, следует иметь представление о том, что такое луч.
Определение 1
Луч - это геометрическая фигура, которая имеет начало отсчета координатного луча и направление движения. Прямую обычно изображают горизонтально, указывая направление направо.
На примере мы видим, что O является началом луча.
Пример 1
Координатный луч изображается по той же схеме, но существенно отличается. Мы ставим точку отсчета и отмеряем единичный отрезок.
Пример 2
Определение 2
Единичный отрезок - это расстояние от 0 до точки, выбранной для измерения.
Пример 3
От конца единичного отрезка нужно отложить несколько штрихов и сделать разметку.
Благодаря манипуляциям, которые мы проделали с лучом, он стал координатным. Подпишите штрихи натуральными числами в последовательности от 1 - например, 2 , 3 , 4 , 5 ...
Пример 4
Определение 3
– это шкала, которая может длиться до бесконечности.
Зачастую его изображают лучом с началом в точке O , и откладывают единственный единичный отрезок. Пример указан на рисунке.
Пример 5
Мы в любом случае сможем продолжить шкалу до того числа, которое нам необходимо. Вы можете записывать числа как удобно – под лучом или над ним.
Пример 6
Для отображений координат луча могут использоваться как заглавные, как и строчные буквы.
Принцип изображения координатной прямой практически не отличается от изображения луча. Все просто - прочертите луч и дополните до прямой, придав положительное направление, которое указывается стрелочкой.
Пример 7
Проведите луч в противоположную сторону, дополнив его до прямой
Пример 8
Отложите единичные отрезки по примеру, указанному выше
С левой стороны запишите натуральные числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ... с противоположным знаком. Обратите внимание на пример.
Пример 9
Вы можете отметить только начало отсчета и единичные отрезки. Смотрите на примере, как это будет выглядеть.
Пример 10
Определение 4
– это прямая, которая изображается с определенной точкой отсчета, которая принимается за 0 , единичным отрезком и заданным направлением движения.
Соответствие между точками координатной прямой и действительными числами
Координатная прямая может содержать множество точек. Они напрямую связаны с действительными числами. Это можно определить, как взаимно однозначное соответствие.
Определение 5
Каждой точке на координатной прямой соответствует единственное действительное число, а каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой.
Для того, чтобы лучше понять правило, следует отметить точку на координатной прямой и посмотреть, какое натуральное число соответствует отметке. Если эта точка совпадает с началом отсчета, она будет отмечена нулем. Если точка не совпадает с началом отсчета, мы откладываем нужное количество единичных отрезков до тех пор, пока не достигнем указанной отметки. Число, записанное под ней, и будет соответствовать данной точке. На примере, указанном внизу, мы покажем вам это правило наглядно.
Пример 11
Если мы не можем найти точку, откладывая единичные отрезки, следует отмечать также точки, составляющие одну десятую, сотую или тысячную долю единичного отрезка. На примере можно подробно рассмотреть данное правило.
Отложив несколько подобных отрезков, мы сможем получить не только целое, но и дробное число – как положительное, так и отрицательное.
Отмеченные отрезки помогут нам отыскать на координатной прямой необходимую точку. Это могут быть как целые, так и дробные числа. Однако на прямой существуют точки, которые очень сложно найти с помощью единичных отрезков. Этим точкам соответствуют десятичные дроби. Для того, чтобы искать подобную точку, придётся откладывать единичный отрезок, десятую, сотую, тысячную, десятитысячную и другие его доли. Одной точке координатной прямой отвечает иррациональное число π (= 3 , 141592 . . .) .
Множество действительных чисел включается в себя все числа, которые можно записать в виде дроби. Это позволяет выявить правило.
Определение 6
Каждой точке координатной прямой соответствует конкретное действительное число. Разные точки определяют разные действительные числа.
Это соответствие однозначно –каждой точке соответствует определенное действительное число. Но это работает также и в обратном направлении. Мы также можем указать определенную точку на координатной прямой, которая будет относиться конкретному действительному числу. Если число не является целым, то нам необходимо отметить несколько единичных отрезков, а также десятых, сотых долей в заданном направлении. Например, числу 400350 отвечает точка на координатной прямой, в которую из начала отсчета можно попасть, отложив в положительном направлении 400 единичных отрезков, 3 отрезка, составляющих десятую долю единичного, и 5 отрезков – тысячную долю.
В конце главы 1 мы говорили о том, что в курсе алгебры нам с вами надо учиться описывать реальные ситуации словами (словесная модель), алгебраически (алгебраическая или, как чаще говорят математики, аналитическая модель), графически (графическая или геометрическая модель). Весь первый раздел учебника (главы 1-5) был посвящен изучению математического языка, с помощью которого описываются аналитические модели.
Начиная с главы 6 мы будем изучать не только новые аналитические, но и графические (геометрические) модели. Они строятся с помощью координатной прямой, координатной плоскости . Эти понятия вам немного знакомы из курса математики 5-6 классов.
Прямую /, на которой выбрана начальная точка О (начало отсчета), масштаб (единичный отрезок , т. е. отрезок, длина которого считается равной 1) и положительное направление, называют координатной прямой, или координатной осью (рис. 7); употребляют также термин «ось х".
Каждому числу соответствует единственная точка прямой. Например, числу 3,5 соответствует точка М (рис. 8), которая удалена от начала отсчета, т. е. от точки О, на расстояние, равное 3,5 (в заданном масштабе), и отложена от точки О в заданном (положительном) направлении. Числу -4 соответствует точка Р (см. рис. 8), которая удалена от точки О на расстояние, равное 4, и отложена от точки О в отрицательном направлении, т. е. в направлении, противоположном заданному.
Верно и обратное: каждая точка координатной прямой соответствует единственному числу.
Например, точка К, удаленная от точки О на расстояние 5,4 в положительном (заданном) направлении, соответствует числу 5,4, а точка N, удаленная от точки О на расстояние 2,1 в отрицательном направлении, соответствует числу - 2,1 (см. рис. 8).
Указанные числа называют координатами соответствующих точек. Так, на рис. 8 точка К имеет координату 5,4; точка Р - координату -4; точка М - координату 3,5; точка N - координату -2,1; точка О - координату 0 (нуль). Отсюда и происходит название - «координатная прямая». Образно выражаясь, координатная прямая - это густо заселенный дом, жильцы этого дома - точки, а координаты точек - это номера квартир, в которых живут точки- жильцы.
Зачем нужна координатная прямая? Зачем характеризовать точку числом, а число - точкой? Есть ли в этом какая-либо польза? Да, есть.
Пусть, например, на координатной прямой даны две точки: А - с координатой о и В - с координатой Ь (обычно в таких случаях пишут короче:
А(а), В(Ь)). Пусть нам надо найти расстояние d между точками А и В. Оказывается, вместо того чтобы делать геометрические измерения
, достаточно воспользоваться готовой формулой d = (а - b) (вы изучали ее в 6 классе).
Так, на рисунке 8 имеем:
Стремясь к лаконичности рассуждений, математики договорились вместо длинной фразы «точка А координатной прямой, имеющая координату а», использовать короткую фразу: «точка а», и, соответственно, на чертеже рассматриваемую точку обозначать ее координатой. Так, на рисунке 9 изображена координатная прямая, на которой отмечены точки - 4; - 2,1; 0; 1; 3,5; 5,4.
Координатная прямая дает нам возможность свободно переходить с алгебраического языка на геометрический и обратно. Пусть, например, число а меньше числа Ь. На алгебраическом языке это записывается так: а < b; на геометрическом языке это означает, что точка а расположена на координатной прямой левее точки b.
Впрочем, и алгебраический, и геометрический языки - это разновидности одного и того же математического языка, который мы с вами изучаем.
Познакомимся еще с несколькими элементами математического языка, которые связаны с координатной прямой.
1. Пусть на координатной прямой отмечена точка а. Рассмотрим все точки, которые лежат на прямой правее точки а, и отметим соответствующую часть координатной прямой штриховкой (рис. 10). Это множество точек (чисел) называют открытым лучом и обозначают (a, +oo), где знак +оо читается: «плюс бесконечность»; оно характеризуется неравенством х > а (под дг понимается любая точка луча).
Обратите внимание: точка а открытому лучу не принадлежит, а eсли же эту точку надо присоединить к открытому лучу, то пишут х > a или и, соответственно, на чертеже точку b закрашивать (рис. 13);
для (- оо, b) также будем употреблять термин луч.
3. Пусть на координатной прямой отмечены точки а и b, причем а < b (т. е. точка а расположена на прямой левее точки b). Рассмотрим все точки, которые лежат правее точки а, но левее точки b отметим соответствующую часть координатной прямой штриховкой (рис. 14).
Это множество (чисел) называют интервалом и обозначают (а, b).
Оно характеризуется строгим двойным неравенством a < х < b (под х понимается любая точка интервала).
Обратите внимание: интервал (а, b) есть пересечение (общая часть) двух открытых лучей (-оо, b) и (а, + оо) - это хорошо видно на рисунке 15.
Если к интервалу (а, b) добавить его концы, т. е. точки a и b, то получится отрезок [а, b] (рис. 16),
который характеризуется нестрогим двойным неравенством а < х < b. Обратите внимание: в обозначении отрезка используют не круглые скобки, как это было в обозначении интервала, а квадратные; на чертеже точки а и b отмечены темными кружками, а не светлыми, как это было в случае интервала.
Отрезок [а, b] есть пересечение (общая часть) двух лучей (-оо, b] и и который характеризуется с помощью двойных неравенств: a < х < b - в первом случае, a < х < b - во втором случае.
Итак, мы ввели пять новых терминов математического языка: луч, открытый луч, интервал, отрезок, полуинтервал. Есть и общий термин: числовые промежутки.
Сама координатная прямая также считается числовым промежутком; для нее используют обозначение (-оо, +оо).
Математика за 7 класс бесплатно скачать , планы конспектов уроков, готовимся к школе онлайн
А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные урокиНа данном уроке мы познакомимся с понятием координатной прямой, выведем ее основные характеристики и свойства. Сформулируем и научимся решать основные задачи. Решим несколько примеров на сочетание этих задач.
Из курса геометрии мы знаем, что такое прямая, но что нужно сделать с обычной прямой, чтобы она стала координатной?
1) Выбрать точку начала отсчета;
2) Выбрать направление;
3) Выбрать масштаб;
На рисунке 1 изображена обычная прямая, а на рисунке 2 - координатная.
Координатной прямой называется такая прямая l , на которой выбрана начальная точка О - начало отсчета, масштаб - единичный отрезок, то есть такой отрезок, длина которого считается равной единице, и положительное направление.
Координатную прямую также называют координатной осью или осью Х.
Выясним, зачем нужна координатная прямая, для этого определим ее основное свойство. Координатная прямая устанавливает взаимооднозначное соответствие между множеством всех чисел и множеством всех точек на этой прямой. Приведем примеры:
Заданы два числа: (знак «+», модуль равен трем) и (знак «-», модуль равен трем).Изобразим эти числа на координатной прямой:
Здесь число называется координатой А, число - координатой В.
Говорят также, что образом числа есть точка С с координатой , а образом числа есть точка D с координатой :
Итак, поскольку основное свойство координатной прямой - это установление взаимооднозначного соответствия между точками и числами, то возникает две основные задачи: указать точку по заданному числу, мы это уже сделали выше, и указать число по заданной точке. Рассмотрим пример второй задачи:
Пусть дана точка М:
Чтобы определить по данной точке число нужно в первую очередь определить расстояние от начал отсчета до точки. В данном случае расстояние равно двум. Теперь нужно определить знак числа, то есть в каком луче прямой лежит точка М. В данном случае точка лежит справа от начала отсчета, в положительном луче, значит число будет иметь знак «+».
Возьмем еще одну точку и по ней определим число:
Расстояние от начала отсчета до точки аналогично предыдущему примеру равно двум, но в данном случае точка лежит слева от начала отсчета, на отрицательном луче, значит точка N характеризует число
Все типовые задачи, связанные с координатной прямой, так или иначе связаны с ее основным свойством и двумя основными задачами, которые мы сформулировали и решили.
К типовым задачам относятся:
-уметь расставлять точки и их координаты ;
-понимать сравнение чисел :
выражение означает, что точка С с координатой 4 лежит правее точки М с координатой 2:
И наоборот, если нам задано расположение точек на координатной прямой, мы должны понимать, что их координаты связаны определенным соотношением:
Пусть заданы точки М(х М) и N(x N):
Мы видим, что точка М лежит правее точки n, значит, их координаты соотносятся как
-Определение расстояния между точками .
Мы знаем, что расстояние между точками Х и А равно модулю числа . пусть даны две точки:
Тогда расстояние между ними будет равно:
Еще одно очень важная задача - это геометрическое описание числовых множеств .
Рассмотрим луч, который лежит на координатной оси, не включает свое начало, но включает все остальные точки:
Итак, у нас задано множество точек, расположенных на координатной оси. Опишем множество чисел, которое характеризуется данным множеством точек. Таких чисел и точек бесчисленное множество, поэтому данная запись выглядит так:
Сделаем пояснение: при втором варианте записи если ставят круглую скобку «(» значит крайнее число - в данном случае число 3, не включается в множество, если же поставить квадратную скобку «[», то крайнее число включается в множество.
Итак, мы записали аналитически числовое множество, которое характеризует заданное множество точек. аналитическая запись, как мы сказали, выполняется или в виде неравенства, или в виде промежутка.
Задано множество точек:
В данном случае точка а=3 входит в множество. Опишем аналитически множество чисел:
Обратим внимание, что после или перед знаком бесконечности всегда ставят круглую скобку, так как бесконечности мы никогда не достигнем, а около числа может стоять как круглая скобка, так и квадратная, в зависимости от условий поставленной задачи.
Рассмотрим пример обратной задачи.
Дана координатная прямая. Изобразить на ней множество точек, соответствующих числовому множеству и :
Координатная прямая устанавливает взаимооднозначное соответствие между любой точкой и числом, а значит и между числовыми множествами и множествами точек. Мы рассмотрели лучи, направленные как в положительном, так и в отрицательном направлении, включающие свою вершину и не включающие ее. Теперь рассмотрим отрезки.
Пример 10:
Задано множество чисел . Изобразить соответствующее множество точек
Пример 11:
Задано множество чисел . Изобразить множество точек:
Иногда чтобы показать, что концы отрезка не включаются в множество, рисуют стрелки:
Пример 12:
Дано числовое множество . Построить его геометрическую модель:
Найти наименьшее число из промежутка :
Найти наибольшее число из промежутка , если оно существует:
Мы может отнять от восьми сколь угодно малое число и сказать, что результат и будет наибольшим числом, но тут же найдем число еще меньше, и результат вычитания увеличится, так что найти наибольшее число в данном промежутке невозможно.
Обратим внимание на тот факт, что ни к одному числу на координатной прямой нельзя подобрать ближайшее число, потому что всегда найдется число еще ближе.
Сколько натуральных чисел содержится в заданном промежутке?
Из промежутка выделим следующие натуральные числа: 4, 5, 6, 7 - четыре натуральных числа.
Напомним, что натуральные числа - это числа, применяемые для счета.
Возьмем другое множество.
Пример 13:
Задано множество чисел
Построить его геометрическую модель:
