Боковая площадь пирамиды правильной. Как вычислить площадь пирамиды: основания, боковую и полную
Какую фигуру мы называем пирамидой? Во-первых, это многогранник. Во-вторых, в основании этого многогранника расположен произвольный многоугольник, а стороны пирамиды (боковые грани) обязательно имеют форму треугольников, сходящихся в одной общей вершине. Вот теперь, разобравшись с термином, выясним, как найти площадь поверхности пирамиды.
Понятно, что площадь поверхности такого геометрического тела составится из суммы площадей основания и всей его боковой поверхности.
Вычисление площади основания пирамиды
Выбор расчетной формулы зависит от формы лежащего в основании нашей пирамиды многоугольника. Он может быть правильным, то есть со сторонами одинаковой длины, или неправильным. Рассмотрим оба варианта.
В основании – правильный многоугольник
Из школьного курса известно:
- площадь квадрата будет равна длине его стороны, возведенной в квадрат;
- площадь равностороннего треугольника равна квадрату его стороны, деленному на 4 и умноженному на квадратный корень из трех.
Но существует и общая формула, для расчета площади любого правильного многоугольника (Sn): надо умножить значение периметра этого многоугольника (Р) на радиус вписанной в него окружности (r), а затем разделить полученный результат на два: Sn=1/2P*r.
В основании – неправильный многоугольник
Схема нахождения его площади заключается в том, чтобы сначала разбить весь многоугольник на треугольники, вычислить площадь каждого из них по формуле: 1/2a*h (где а – основание треугольника, h – опущенная на это основание высота), сложить все результаты.
Площадь боковой поверхности пирамиды
Теперь рассчитаем площадь боковой поверхности пирамиды, т.е. сумму площадей всех ее боковых сторон. Здесь также возможны 2 варианта.
- Пусть у нас имеется произвольная пирамида, т.е. такая, в основании которой – неправильный многоугольник. Тогда следует вычислить отдельно площадь каждой грани и сложить результаты. Так как боковыми сторонами пирамиды по определению могут быть только треугольники, то расчет идет по упомянутой выше формуле: S=1/2a*h.
- Пусть наша пирамида – правильная, т.е. в ее основании лежит правильный многоугольник, и проекция вершины пирамиды оказывается в его центре. Тогда для вычисления площади боковой поверхности (Sб) достаточно найти половину произведения периметра многоугольника-основания (Р) на высоту (h) боковой стороны (одинаковую для всех граней): Sб=1/2 Р*h. Периметр многоугольника определяется сложением длин всех его сторон.
Полная площадь поверхности правильной пирамиды найдется суммированием площади ее основания с площадью всей боковой поверхности.
Примеры
Для примера вычислим алгебраически площади поверхности нескольких пирамид.
Площадь поверхности треугольной пирамиды
В основании такой пирамиды – треугольник. По формуле Sо=1/2a*h находим площадь основания. Эту же формулу применяем для нахождения площади каждой грани пирамиды, также имеющей треугольную форму, и получаем 3 площади: S1, S2 и S3. Площадь боковой поверхности пирамиды является суммой всех площадей: Sб= S1+ S2+ S3. Сложив площади боковых сторон и основания, получим полную площадь поверхности искомой пирамиды: Sп= Sо+ Sб.
Площадь поверхности четырехугольной пирамиды
Площадь боковой поверхности - это сумма 4-ех слагаемых: Sб= S1+ S2+ S3+ S4, каждое из которых вычислено по формуле площади треугольника. А площадь основания придется искать, в зависимости от формы четырехугольника - правильного или неправильного. Площадь полной поверхности пирамиды снова получится путем сложения площади основания и полной площади поверхности заданной пирамиды.
Коротко о главном
Площадь поверхности (2019)
Площадь поверхности призмы
Есть ли общая формула? Нет, в общем случае нет. Просто нужно искать площади боковых граней и суммировать их.
Формулу можно написать для прямой призмы:
Где - периметр основания.
Но всё-таки гораздо проще в каждом конкретном случае сложить все площади, чем запоминать дополнительные формулы. Для примера посчитаем полную поверхность правильной шестиугольной призмы.
Все боковые грани - прямоугольники. Значит.
Это уже выводили при подсчёте объёма.
Итак, получаем:
Площадь поверхности пирамиды
Для пирамиды тоже действует общее правило:
Теперь давай посчитаем площадь поверхности самых популярных пирамид.
Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды
Пусть сторона основания равна, а боковое ребро равно. Нужно найти и.
Вспомним теперь, что
Это площадь правильного треугольника.
И еще вспомним, как искать эту площадь. Используем формулу площади:
У нас « » - это, а « » - это тоже, а.
Теперь найдем.
Пользуясь основной формулой площади и теоремой Пифагора, находим
Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е.), то формула получается такой:
Площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды
Пусть сторона основания равна, а боковое ребро равно.
В основании - квадрат, и поэтому.
Осталось найти площадь боковой грани
Площадь поверхности правильной шестиугольной пирамиды.
Пусть сторона основания равна, а боковое ребро.
Как найти? Шестиугольник состоит ровно из шести одинаковых правильных треугольников. Площадь правильного треугольника мы уже искали при подсчете площади поверхности правильной треугольной пирамиды, здесь используем найденную формулу.
Ну, и площадь боковой грани мы уже искали аж два раза
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для чего?
Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это - не главное.
Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...
Но, думай сам...
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время .
И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.
Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.
Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.
Как? Есть два варианта:
- Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб.
- Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - 999 руб.
Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.
Во втором случае мы подарим тебе тренажер “6000 задач с решениями и ответами, по каждой теме, по всем уровням сложности”. Его точно хватит, чтобы набить руку на решении задач по любой теме.
На самом деле это намного больше, чем просто тренажер - целая программа подготовки. Если понадобится, ты сможешь ею так же воспользоваться БЕСПЛАТНО.
Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.
И в заключение...
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Найди задачи и решай!
Типичными геометрическими задачами на плоскости и в трехмерном пространстве являются проблемы определения площадей поверхностей разных фигур. В данной статье приведем формулу площади боковой поверхности правильной пирамиды четырехугольной.
Что собой представляет пирамида?
Приведем строгое геометрическое определение пирамиды. Предположим, что имеется некоторый многоугольник с n сторонами и с n углами. Выберем произвольную точку пространства, которая не будет находиться в плоскости указанного n-угольника, и соединим ее с каждой вершиной многоугольника. Мы получим фигуру, имеющую некоторый объем, которая называется n-угольной пирамидой. Для примера покажем на рисунке ниже, как выглядит пятиугольная пирамида.
Два важных элемента любой пирамиды - это ее основание (n-угольник) и вершина. Эти элементы соединены друг с другом n треугольниками, которые в общем случае не равны друг другу. Перпендикуляр, опущенный из вершины к основанию, называется высотой фигуры. Если он пересекает основание в геометрическом центре (совпадает с центром масс многоугольника), то такую пирамиду называют прямой. Если помимо этого условия основание является правильным многоугольником, то и вся пирамида называется правильной. Рисунок ниже показывает, как выглядят правильные пирамиды с треугольным, четырехугольным, пятиугольным и шестиугольным основаниями.
Поверхность пирамиды
Прежде чем переходить к вопросу о площади боковой поверхности правильной пирамиды четырехугольной, следует подробнее остановиться на понятии самой поверхности.
Как было сказано выше и показано на рисунках, любая пирамида образована набором граней или сторон. Одна сторона является основанием, и n сторон представляют собой треугольники. Поверхность всей фигуры - это сумма площадей каждой ее стороны.
Поверхность удобно изучать на примере развертки фигуры. Развертка для правильной четырехугольной пирамиды приведена на рисунки ниже.
Видим, что площадь ее поверхности равна сумме четырех площадей одинаковых равнобедренных треугольников и площади квадрата.
Общую площадь всех треугольников, которые образуют боковые стороны фигуры, принято называть площадью боковой поверхности. Далее покажем, как ее рассчитать для четырехугольной пирамиды правильной.
Площадь боковой поверхности четырехугольной правильной пирамиды
Чтобы вычислить площадь боковой поверхности указанной фигуры, снова обратимся к приведенной выше развертке. Предположим, что нам известна сторона квадратного основания. Обозначим ее символом a. Видно, что каждый из четырех одинаковых треугольников, имеет основание длиной a. Чтобы вычислить их суммарную площадь, необходимо знать эту величину для одного треугольника. Из курса геометрии известно, что треугольника площадь S t равна произведению основания на высоту, которое следует поделить пополам. То есть:
Где h b - высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию a. Для пирамиды эта высота является апотемой. Теперь остается умножить полученное выражение на 4, чтобы получить площадь S b поверхности боковой для рассматриваемой пирамиды:
S b = 4*S t = 2*h b *a.
Эта формула содержит два параметра: апотему и сторону основания. Если последняя в большинстве условий задач известна, то первую приходится вычислять, зная другие величины. Приведем формулы для расчета апотемы h b для двух случаев:
- когда известна длина бокового ребра;
- когда известна высота пирамиды.
Если обозначить длину ребра бокового (сторона равнобедренного треугольника) символом L, тогда апотема h b определиться по формуле:
h b = √(L 2 - a 2 /4).
Это выражения является результатом применения теоремы Пифагора для треугольника боковой поверхности.
Если известна высота h пирамиды, тогда апотему h b можно рассчитать так:
h b = √(h 2 + a 2 /4).
Получить это выражение также не сложно, если рассмотреть внутри пирамиды прямоугольный треугольник, образованный катетами h и a/2 и гипотенузой h b .
Покажем, как применять эти формулы, решив две интересные задачи.
Задача с известной площадью поверхности
Известно, что площадь боковой поверхности четырехугольной равна 108 см 2 . Необходимо вычислить значение длины ее апотемы h b , если высота пирамиды равна 7 см.
Запишем формулу площади S b поверхности боковой через высоту. Имеем:
S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a.
Здесь мы просто подставили соответствующую формулу апотемы в выражение для S b . Возведем обе части равенства в квадрат:
S b 2 = 4*a 2 *h 2 + a 4 .
Чтобы найти значение a, сделаем замену переменных:
t 2 + 4*h 2 *t - S b 2 = 0.
Подставляем теперь известные значения и решаем квадратное уравнение:
t 2 + 196*t - 11664 = 0.
Мы выписали только положительный корень этого уравнения. Тогда стороны основания пирамиды будет равна:
a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 см.
Чтобы получить длину апотемы, достаточно воспользоваться формулой:
h b = √(h 2 + a 2 /4) = √(7 2 + 6,916 2 /4) ≈ 7,808 см.
Боковая поверхность пирамиды Хеопса
Определим значение площади поверхности боковой для самой большой египетской пирамиды. Известно, что в ее основании лежит квадрат с длиной стороны 230,363 метра. Высота сооружения изначально составляла 146,5 метра. Подставим эти цифры в соответствующую формулу для S b , получим:
S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a = 2*√(146,5 2 +230,363 2 /4)*230,363 ≈ 85860 м 2 .
Найденное значение немного больше площади 17 футбольных полей.
Цилиндр представляет собой геометрическое тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями и цилиндрической поверхностью. В статье поговорим о том, как найти площадь цилиндра и, применив формулу, решим для примера несколько задач.
У цилиндра есть три поверхности: вершина, основание, и боковая поверхность.
Вершина и основание цилиндра являются окружностями, их легко определить.
Известно, что площадь окружности равна πr 2 . Поэтому, формула площади двух окружностей (вершины и основания цилиндра) будет иметь вид πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .
Третья, боковая поверхность цилиндра, является изогнутой стенкой цилиндра. Для того чтобы лучше представить эту поверхность попробуем преобразовать её, чтобы получить узнаваемую форму. Представьте себе, что цилиндр, это обычная консервная банка, у которой нет верхней крышки и дна. Сделаем вертикальный надрез на боковой стенке от вершины до основания банки (Шаг 1 на рисунке) и попробуем максимально раскрыть (выпрямить) полученную фигуру (Шаг 2).
После полного раскрытия полученной банки мы увидим уже знакомую фигуру (Шаг 3), это прямоугольник. Площадь прямоугольника вычислить легко. Но перед этим вернемся на мгновение к первоначальному цилиндру. Вершина исходного цилиндра является окружностью, а мы знаем, что длина окружности вычисляется по формуле: L = 2πr. На рисунке она отмечена красным цветом.
Когда боковая стенка цилиндра полностью раскрыта, мы видим, что длина окружности становится длиной полученного прямоугольника. Сторонами этого прямоугольника будут длина окружности(L = 2πr) и высота цилиндра(h). Площадь прямоугольника равна произведению его сторон – S = длина х ширина = L x h = 2πr x h = 2πrh. В результате мы получили формулу для расчета площади боковой поверхности цилиндра.
Формула площади боковой поверхности цилиндра
S бок. = 2πrh
Площадь полной поверхности цилиндра
Наконец, если мы сложим площадь всех трёх поверхностей, мы получим формулу площади полной поверхности цилиндра. Площади поверхности цилиндра равна площадь вершины цилиндра + площадь основания цилиндра + площадь боковой поверхности цилиндра или S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Иногда это выражение записывается идентичной формулой 2πr (r + h).
Формула площади полной поверхности цилиндра
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – радиус цилиндра, h – высота цилиндра
Примеры расчета площади поверхности цилиндра
Для понимания приведенных формул попробуем посчитать площадь поверхности цилиндра на примерах.
1. Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 3. Определите площадь боковой поверхности цилиндра.
Площадь полной поверхности рассчитывается по формуле: S бок. = 2πrh
S бок. = 2 * 3,14 * 2 * 3
S бок. = 6,28 * 6
S бок. = 37,68
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 37,68.
2. Как найти площадь поверхности цилиндра, если высота равна 4, а радиус 6?
Площадь полной поверхности рассчитывается по формуле: S = 2πr 2 + 2πrh
S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4
S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24
Площадь поверхности пирамиды. В этой статье мы рассмотрим с вами задачи с правильными пирамидами. Напомню, что правильная пирамида – это пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, вершина пирамиды проецируется в центр этого многоугольника.
Боковая грань такой пирамиды это равнобедренный треугольник. Высота этого треугольника, проведенная из вершины правильной пирамиды, называется апофемой, SF – апофема:
В представленном ниже типе задач требуется найти площадь поверхности всей пирамиды или площадь её боковой поверхности. На блоге уже рассмотрено несколько задач с правильными пирамидами, где ставился вопрос о нахождении элементов (высоты, ребра основания, бокового ребра), .
В заданиях ЕГЭ, как правило, рассматриваются правильные треугольные, четырёхугольные и шестиугольные пирамиды. Задач с правильными пятиугольными и семиугольными пирамидами не встречал.
Формула площади всей поверхности проста — требуется найти сумму площади основания пирамиды и площади её боковой поверхности:
Рассмотрим задачи:
Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 72, боковые ребра равны 164. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
Площадь поверхности пирамиды равна сумме площадей боковой поверхности и основания:
*Боковая поверхность состоит из четырёх равных по площади треугольников. Основание пирамиды это квадрат.
Площадь боковой стороны пирамиды можем вычислить воспользовавшись :
Таким образом, площадь поверхности пирамиды равна:
Ответ: 28224
Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 22, боковые ребра равны 61. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Основанием правильной шестиугольной пирамиды является правильный шестиугольник.
Площадь боковой поверхности данной пирамиды состоит из шести площадей равных треугольников с сторонами 61,61 и 22:
Найдём площадь треугольника, воспользуемся формулой Герона:
Таким образом, площадь боковой поверхности равна:
Ответ: 3240
*В представленных выше задачах площадь боковой грани можно было найти используя другую формулу треугольника, но для этого нужно вычислить апофему.
27155. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.
Для того, чтобы найти площадь поверхности пирамиды нам необходимо знать площадь основания и площадь боковой поверхности:
Площадь основания равна 36, так как это квадрат со стороной 6.
Боковая поверхность состоит из четырёх граней, которые являются равными треугольниками. Для того, чтобы найти площадь такого треугольника требуется знать его основание и высоту (апофему):
*Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты проведённой к этому основанию.
Основание известно, оно равно шести. Найдём высоту. Рассмотрим прямоугольный треугольник (он выделен жёлтым):
Один катет равен 4, так как это высота пирамиды, другой равен 3, так как он равен половине ребра основания. Можем найти гипотенузу, по теореме Пифагора:
Значит площадь боковой поверхности пирамиды равна:
Таким образом, площадь поверхности всей пирамиды равна:
Ответ: 96
27069. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
27070. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Существуют ещё формулы площади боковой поверхности правильной пирамиды. В правильной пирамиде основание является ортогональной проекцией боковой поверхности, поэтому:
P - периметр основания, l - апофема пирамиды
*Эта формула основывается на формуле площади треугольника.
Если хотите узнать подробнее как эти формулы выводятся, не пропустите, следите за публикацией статей. На этом всё. Успеха Вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
